第六章第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1第六章第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．若实数x，y满足不等式组x＋2y－5≥0，2x＋y－7≥0，x≥0，y≥0，则3x＋4y的最小值是()A．13B．15C．20D．282．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]3．若不等式组x≥0，x＋3y≥43x＋y≤4，所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.344．已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA·OM的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]5．已知实数x，y满足x－y＋6≥0x＋y≥0x≤3，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为()A．a≥1B．a≤－1C．－1≤a≤1D．a≥1或a≥－126．若变量x，y满足约束条件3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z＝x＋2y的最小值为()A．－8B．－6C．0D．12二、填空题7．在平面直角坐标系中，不等式组x≥1y≤2x－y≤0表示的平面区域的外接圆的方程为________．8．已知实数x，y满足x－ay－1≥02x＋y≥0x≤1(a∈R)，若目标函数z＝x＋3y只有当x＝1y＝0时取得最大值，则实数a的取值范围是________．9．已知实数x，y满足约束条件x－y＋4≥0x＋y≥0x≤3，则z＝4x2－y的最小值为________．三、解答题10．已知▱ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在▱ABCD的内部，求z＝2x－5y的取值范围．11．由约束条件y≥0，y≤x，y≤2－x，t≤x≤t＋10t1所确定的平面区域的面积S＝f(t)，试求f(t)的表达式．312．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？详解答案一、选择题1．解析：不等式组x＋2y－5≥0，2x＋y－7≥0，x≥0，y≥0，表示的可行域如图所示，根据目标函数z＝3x＋4y的几何意义容易求得，当x＝3，y＝1时，z有最小值13.答案：A2．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1可转化为x＋y≤1x≥0，y≥0x－y≤1x≥0，y＜0－x＋y≤1x＜0，y≥0－x－y≤1x＜0，y＜0，由图可得其对应的可行域为边长为2，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点(0，－1)时z有最小值－3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为[－3,3]．答案：D3．解析：由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋43恰过A(0，43)，y＝kx＋43将区域平均分成面积相等两部分，故过BC的中4点D(12，52)，52＝k×12＋43，k＝73.答案：A4．解析：平面区域如图中阴影部分所示的△BDN，N(0,2)，D(1,1)，设点M(x，y)，因点A(－1,1)，则z＝OA·OM＝－x＋y，由图可知；当目标函数z＝－x＋y过点D时，zmin＝－1＋1＝0；当目标函数z＝－x＋y过点N时，zmax＝0＋2＝2，故z的取值范围为[0,2]，即OA·OM的取值范围为[0,2]．答案：C5．解析：作出x，y满足的可行域，如图阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.答案：C6．解析：根据3≤2x＋y≤96≤x－y≤9得可行域如图中阴影部分所示：根据z＝x＋2y得y＝－x2＋z2，平移直线y＝－x2得过M点时取得最小值．根据x－y＝92x＋y＝3得x＝4y＝－5，则zmin＝4＋2×(－5)＝－6.答案：B二、填空题7．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC为等腰直角三角形，A(2,2)，B(1,1)，C(1,2)，因此△ABC的外接圆的圆心为(32，32)，半径为2－12＋2－122＝22.所以所求外接圆的方程为(x－32)2＋(y－32)2＝12.答案：(x－32)2＋(y－32)2＝1258．解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域，其中直线x－ay－1＝0经过定点(1,0)且斜率为1a，结合图形可知，只有当1a0，即a0时，目标函数z＝x＋3y才能在点(1,0)处取得最大值(如图(1))；若1a0，则可行域变为开放的区域，目标函数z＝x＋3y不存在最大值(如图(2))．所以实数a的取值范围是a0.答案：(0，＋∞)9．解析：作出不等式组所表示的可行域(图略)，z＝4x2－y＝22x·2y＝22x＋y，令ω＝2x＋y，可求得ω＝2x＋y的最小值是－2，所以z＝4x2－y的最小值为2－2＝14.答案：14三、解答题10．解：由题可知，平行四边形ABCD的点D的坐标为(0，－4)，点(x，y)在平行四边形内部，如图，所以在D(0，－4)处目标函数z＝2x－5y取得最大值为20，在点B(3,4)处目标函数z＝2x－5y取得最小值为－14，由题知点(x，y)在平行四边形内部，所以端点取不到，故z＝2x－5y的取值范围是(－14,20)．11．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP，如图所示，其面积S＝f(t)＝S△OPD－S△AOB－S△ECD，而S△OPD＝12×1×2＝1.S△OAB＝12t2，S△ECD＝12(1－t)2，所以S＝f(t)＝1－12t2－12(1－t)2＝－t2＋t＋12.12．解：法一：设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：6z＝2.5x＋4y，且x，y满足x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54.即x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.作出线性约束条件所表示的可行域，如图所示，z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0，8)处的值分别是zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，zB＝2.5×4＋4×3＝22，zC＝2.5×2＋4×5＝25，zD＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54.即x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．