第六章第五节合情推理与演绎推理

1第六章第五节合情推理与演绎推理题组一归纳推理1.(2010·临汾模拟)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，1j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往24下数第i行、从左往右数第j个数，如357a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为681012()911131517A．105B．106141618202224C．107D．108解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：C2．已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n1且n∈N*)，则f3(x)的表达式为____________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．解析：由f1(x)＝f(x)和fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n1且n∈N*)，得f2(x)＝f1[f1(x)]＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2[f2(x)]＝x1－2x1－2x1－2x＝x1－22x，…，由此猜想fn(x)＝x1－2n－1x(n∈N*)．答案：f3(x)＝x1－22xfn(x)＝x1－2n－1x(n∈N*)3．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，则52＝________，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m2的值为________．解析：第一空易得；从23起，k3的分解规律恰为数列3,5,7,9，…若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，…，21是53的分解中最小的数，∴m＝5.答案：1＋3＋5＋7＋954．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．证明：一般性的命题为sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.证明如下：左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＝32－12[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)]＝32＝右边．∴结论正确．题组二类比推理5.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行．答案：C6．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝12r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V＝________.解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．答案：13R(S1＋S2＋S3＋S4)7．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{bn}(bn0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________.3解析：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的bnam，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－mbnam.故bm＋n＝n－mbnam.答案：n－mbnam8．在△ABC中，射影定理可以表示为a＝bcosC＋ccosB，其中a，b，c依次为角A、B、C的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．解：如图，在四面体P－ABC中，S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面积，α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA与底面ABC所成角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ.题组三演绎推理9.(2009·广东高考)广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()ABCDEA05456B50762C47098.6D56905E628.650A.20.6B．21C．22D．23解析：首先以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过1次的可能性有A33种，即ABCDE，ABDCE，ACBDE，ACDBE，ADBCE，ADCBE，分别计算得ACDBE最短，且最短距离为21.答案：B10．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三4所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12(an－1＋1an－1)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式解析：两条直线平行，同旁内角互补┄┄┄┄┄┄大前提∠A，∠B是两条平行直线被第三条直┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄小前提∠A＋∠B＝180°┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄结论故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．答案：A11．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝(13)x是指数函数(小前提)，所以y＝(13)x是增函数(结论)”，上面推理的错误．．是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．答案：A12．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：加密密钥密码发送解密密钥密码明文密文密文明文现在加密密钥为y＝loga(x＋2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为()A．12B．13C．14D．15解析：∵loga(6＋2)＝3，∴a＝2，即加密密钥为y＝log2(x＋2)，当接到的密文为4时，即log2(x＋2)＝4，∴x＋2＝24，∴x＝14.答案：C