第六章第四节不等式的解法

1第六章第四节不等式的解法题组一分式不等式及高次不等式的解法1.已知a0，则关于x的不等式3ax＋a1的解集是()A．(2a，－a)B．(－∞，2a)∪(－a，＋∞)C．(－a,2a)D．(－∞，－a)∪(2a，＋∞)解析：原不等式等价于x－2ax＋a0，又a0，∴2ax－a.答案：A2．若a0，b0，则不等式－a1xb的解集为()A．{x|－1ax0或0x1b}B．{x|－1bx1a}C．{x|－1bx0或0x1a}D．{x|x－1a或x1b}解析：原不等式等价于1x－b01x＋a0⇒x01－bx01＋ax0或x01－bx01＋ax0，∵a0，b0，∴解得x－1a或x1b.答案：D3．不等式1－x2x2＋5x＋6≥0的解集是()A．(－3,1)B．(－∞，－3)∪[－2，－1]∪(1，＋∞)C．[－3，－2]∪[－1,1]D．(－3，－2)∪[－1,1]解析：原不等式化为(x＋1)(x－1)(x＋2)(x＋3)≤0，2它等价于(x＋1)(x－1)(x＋2)(x＋3)≤0(x＋2)(x＋3)≠0如图，由穿根法，得不等式的解集为(－3，－2)∪[－1,1]．答案：D题组二指数、对数不等式的解法4.已知f(x)＝lnx(x0)，ex(x≤0)(e＝2.718...)，则不等式f(x)－1≤0的解集为()A．(－∞，0]∪[e，＋∞)B．(－∞，1]C．(－∞，e]D．∅解析：当x0时，不等式为lnx≤1⇒0x≤e；当x≤0时，不等式为ex≤1⇒x≤0，∴不等式的解集为(－∞，e]．答案：C5．已知不等式－1logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是()A．(33，1)B．(0，33)C．(13，1)D．(13，33)解析：∵－1logx(3x)0∴0x1，3x1，3x1x，或x13x13x1x(舍)，解之得13x33.答案：D6．设a，b，c均为正数，且2a＝log12a，12b＝log12b，12c＝log2c，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac解析：法一：由函数y＝2x，y＝12x，y＝log2x，y＝log12x的图象知：0ab1c.3法二：∵a0，∴2a1，∴log12a1，∴0a12.又∵b0，∴012b1,0log12b1，∴12b1.又∵12c0，∴log2c0，∴c1，∴0a12b1c.答案：A题组三含参数的不等式的解法7.若不等式xax＋32的解集为(4，b)，则实数b的值为()A．9B．18C．36D．48解析：令x＝t，∵x∈(4，b)，t∈(2，b)，原不等式可化为at2－t＋320，其解集为(2，b)，∴2及b是方程at2－t＋32＝0的两个根，由韦达定理知2＋b＝1a，2b＝32a，解得b＝36.答案：C8．如果不等式2x2＋2mx＋m4x2＋6x＋31对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是()A．(1,3)B．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：∵4x2＋6x＋30恒成立，∴原不等式可化为2x2＋(6－2m)x＋3－m0恒成立，∴Δ＝(6－2m)2－8(3－m)0，解得1m3.4答案：A9．已知函数f(x)＝x2＋3x－a(x≠a，a为非零常数)．(1)解不等式f(x)x；(2)设xa时，f(x)的最小值为6，求a的值．解：(1)由f(x)x，得x2＋3x－ax，即ax＋3x－a0，等价于(ax＋3)(x－a)0，当a0时，化为(x＋3a)(x－a)0.∵－3aa，∴解集为{x|－3axa}．当a0时，不等式化为(x＋3a)(x－a)0，∵－3aa，∴解集为{x|xa或x－3a}．(2)∵xa，∴x－a0.f(x)＝x2＋3x－a＝x2－a2＋a2＋3x－a＝(x＋a)＋a2＋3x－a＝(x－a)＋a2＋3x－a＋2a≥2(x－a)·a2＋3x－a＋2a＝2a2＋3＋2a.当且仅当x＝a＋a2＋3时，取“＝”，故f(x)min＝2a2＋3＋2a，由已知2a2＋3＋2a＝6，解得a＝1.题组四不等式解法的灵活应用10.(2010·安阳模拟)已知函数f(x)＝logax(a0且a≠1)满足f(2a)f(3a)，则f(1－1x)1的解是()A．1x11－aB．1x1aC．0x1aD．0x11－a解析：函数f(x)＝logax(a0且a≠1)满足f(2a)f(3a)，则0a1，f(1－1x)1即01－1xa，5不等式的解集是1x11－a.答案：A11．已知f(x)＝lg(x＋1)，g(x)＝2lg(2x＋t)(t∈R，t是参数)，如果当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，则参数t的取值范围为()A．t≥1B．0t2C．－12t32D．－32t≤12解析：当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，即x∈[0,1]时，x＋102x＋t0x＋1≤(2x＋t)2恒成立，亦即x∈[0,1]时，x＋10t－2xt≥－2x＋x＋1恒成立，即x∈[0,1]时，t≥－2x＋x＋1恒成立，于是转化为求－2x＋x＋1(x∈[0,1])的最大值问题．令u＝x＋1，则x＝u2－1，由x∈[0,1]，知u∈[1，2]，则－2x＋x＋1＝－2(u2－1)＋u＝－2(u－14)2＋178.当u＝1时，即x＝0时，－2x＋x＋1有最大值1，故t的取值范围是t≥1.答案：A12．已知函数f(x)＝46＋x－x2，g(x)＝x2－3ax＋2a2(a0)，若不存在x使得f(x)1和g(x)0同时成立，试求a的取值范围．解：由题设可知，不等式组46＋x－x21，x2－3ax＋2a20的解集为∅.由46＋x－x21，得46＋x－x2－10，即4－(6＋x－x2)6＋x－x20，可化为(x＋2)(x＋1)(x－2)(x－3)0，解得－2x－1或2x3.因此f(x)1的解集为A＝{x|－2x－1或2x3}．由x2－3ax＋2a20，得(x－2a)(x－a)0，又a0，解得2axa.因此g(x)0的解集为B＝{x|2axa}．由上述可知，A∩B＝∅.6∴a≤－2或a0，2a≥－1，即a≤－2或－12≤a0.故a的取值范围为{a|a≤－2或－12≤a0}．