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九年级圆专题复习第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测1.（2013•武汉四月调考）在圆O中，AB为直径，PC为弦，且PA=PC.（1）如图1，求证：OP//BC；（2）如图2，DE切圆O于点C，若DE//AB，求tan∠A的值。2.（2013•武汉中考）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是弧AB的中点，连接PA、PB、PC（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：APAC3；（2）如图②，若sin∠BPC=2524,求tan∠PAB的值。3.（2014•武汉四月调考）已知：P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点．（1）如图1，若AC为直径，求证：OP∥BC；（2）如图2，若sin∠P=，求tan∠C的值．4.（2014•武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5(1)如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长(2)如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA得长5.（2015•武汉四月调考）已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD＝AO．（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；（2）如图2，点F在边BC上，BF＝BO，若OD＝22，OF＝3，求⊙O的直径．6.（2015•武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．7.（2016•武汉四月调考）已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．(1)如图1，求证：BD=ED；(2)如图2,AO为⊙O的直径，若BC=6,sin∠BAC=53，求OE的长．EDOABCFDOABC8.（2016•武汉中考）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝54，求FCAF的值．9.（2017•武汉四月调考）如图，□ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切(1)求证：弧AB＝弧AC(2)如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E＝1312，求tan∠D的值归纳：1.从知识上归纳：（1）已知三角函数求三角函数的有：（2017•武汉四月调考）、（2013•武汉中考）、（2014•武汉四月调考）（2）已知三角函数求比值的：（2016•武汉中考）（2015•武汉中考）（3）已知三角函数求长度：（2016•武汉四月调考）（5）求三角函数：（2013•武汉四月调考）、（2015•武汉中考）（6）已知勾股定理求长度：（2014•武汉中考）（2015•武汉四月调考）2.从题型上归纳：（1）考查圆周角转到圆心角一半的位置及圆中等腰三角型有：（2014•武汉四月调考）、（2016•武汉四月调考）、（2013•武汉中考）、（2017•武汉四月调考）（2）考查1，2，5三角型的有：（2015•武汉中考）（3）考查垂径定理和勾股定理的有：（2014•武汉中考）（4）考查旋转型相似与圆中构矩形的有：（2016•武汉中考）预测：近几年的四调和中考，对圆中三角函数的考查的年份占到很大的比例，单独考勾股定理的年份较少，仅仅只有2014年中考和2015年四调，其他年份都涉及三角函数，而且今年的四调更是已知三角函数求三角函数。纵观2016年全国各地中考题对圆的考查，逐步在降低难度，主要集中在圆的第2问。而第2问主要考查学生转化、计算的能力和方程思想。那么三角函数不管作为条件，还是结论，不管是计算还是证明，学生都知道要有直角，原处作垂直还是转化？怎么转？往哪个方向转？转了之后有什么意义？怎么打通条件和结论的连接点。这恰恰时学生的难点，也是我们教师需要传递给学生的地方。如果教师能够引导学生将第21题第（2）问考查的题型结构归纳为几个重要的熟悉的题型，那么学生就非常自信，相信按照老师的指导方法一定能够做出这道题来，让考生百分百在道题上能得分，是我们老师需要研究的。二、几种重要的题型和结构（一）圆中等腰三角形的结构及其类似结构知识储备：等腰三角形的顶角与底角之间的三角函数是可以任意切换的。只需要作底上的高和腰上的高即可。（1）已知顶角三角函数求底角三角函数，顶角半角的三角函数例1.1.如图，已知在等腰ABC中，ABAC，3sinA5，求tanB，cos2A（2）已知底角三角函数求顶角三角函数，顶角半角的三角函数。例1.2.如图，已知在等腰ABC中，ABAC，tanC2，求cosA，sin2A（3）已知顶角半角的三角函数，求顶角的三角函数和底角的三角函数例1.3．如图，如图，已知在等腰ABC中，ABAC，310cos210A，求sinA，tanB转化一：圆中没有等腰三角形可以观察是否可以转化到一个等腰三角形中，变成熟悉的题型例1.4．（2014•武汉四月调考）已知：P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点．（1）如图1，若AC为直径，求证：OP∥BC；（2）如图2，若sin∠P=，求tan∠C的值．转化二：圆中有等腰三角形根据需要作底上的高（注意证明共线）和腰上的高例1.5．如图，AC为O的直径，ABD为O的内接三角形，ABBD，BD交AC于F点，BEAD交AC的延长线于E点。（1）求证：BE为O的切线；（2）若4AFCF，求tanBAE的值。例1.6．.如图，AB是O的直径，点C是O上一动点，点D是优弧AC的中点，连接DO，若点C为AB上任意一点（不与A、B重合），连接AC，当tan2BAC时，求DAB的值。转化三：圆中等腰三角形顶角的三角函数通常可以转化到圆心角的一半处例1.7．（2016•武汉四月调考）已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．(1)如图1，求证：BD=ED；(2)如图2,AO为⊙O的直径，若BC=6,sin∠BAC=53，求OE的长．OEFDCBAODCBA例1.8．如图，在ABCD中，过A、B、C三点的O交AD于E，且与CD相切。（1）求证：CDCE（2）若4AB，6BE，求cosEBC转化四：圆中非等腰三角形的结构中，圆周角的三角函数都可以放在圆心角的一半处例1.9．（2017•武汉四月调考）如图，□ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切(1)求证：弧AB＝弧AC(2)如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E＝1312，求tan∠D的值例1.10.如图，在O中，ABAC，D为AB上任意一点，若3cos4BDC，求tanADC的值（二）切线长定理与射影图结构图形结构：方法归纳：切线长定理产生对称射影图，对称射影图中，任意知道两条线段，其他线段均可求。转化手段有，相似、三角函数，面积，勾股定理OEDCBAKBAPOBOCDA例2如图，AC为O的直径，且PAAC，点B在O上，PB交AC的延长线于点D，C为AD的中点，2DBBP。（1）求证：PB为O的切线。（2）点E为O上一点，求cosBEA的值。（三）圆与1，2，5的三角形等腰直角三角形的一直角边作为直径作圆都可以归为1，2，5型例3.1（2015•武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．变式一：延长TO交O于M，连接AM，求tanM的值。变式二：延长TO交O于M，连接EM，求tanBEM的值变式三：连TO交O于F，连接BF，求tanTBF，sinABF的值。DOEPCBA变式四：如图，AB是O的直径，045ABT，ATAB。（1）求证：AT是O的切线；（2）若C是TB上一点，12BCCT，连接OC，AC，求tanACO的值。（四）母子型结构知识结构：BADBCA结论：①BADC②2BABDBC；③字母比=tantanBDBAADCBACBABCAC例4.1.如图ABC，O为BC上一点，O过A、C两点交BC于D，BA为O的切线，若3sin5B，求tanBAD（五）弧（非半圆）的中点与赵州桥问题结构条件的给法：①点F为BE的中点；②AF平分BAE。连接OF交BE于K，如果给拱高FK和跨度BE的长，可以在BOK中用勾股定理，如果给拱高FK和BF的长，则可以在BOK和BFK中用双勾股列方程。OFEBATOCBA例5.1.如图，ACDC，AC平分DAB。（1）求证：AB是O的切线；（2）若54ACAD，求sinBAD的值。例5.2.四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，BCDC（1）求证：OCAD；（2）OFAD于E，交CD的延长线于F，若27BCAD，求cosF的值（六）旋转型相似与矩形结构条件的给法：CDAD,AC平分BAD（或者）点C为BE的中点转化手段：①DACCAB；②连接BE、CO交于K点，则得矩形EDCK；③连接OC,过点O作OQ垂直AE于点Q，则得矩形OCDQ；④连接OD交AC于点F，则可用X型转化比例；⑤连接BE交AC于点H，则可用X型转化比例；⑥过点B向直线DC作垂线则形成母子型相似。例6.1（2016•武汉中考）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝54，求FCAF的值．ODCBAFCDBOA例6.2（2016•南宁中考改编）如图，AB是O的直径，C、G是O上两点，且=ACCG，过点C的直线CDBG于点D.（1）求证：CD是O的切线；（2）若23OFDF，求tanE的值。（七）半圆的中点与直角三角形内心结构条件的给法：①点F为半圆AB的中点；②CD平分BCA；③半径为5，3sin5BAC；④点E为ABC的内心常规结论：①求CD的长；②求CFDF；③求AFBF；④求ABC的半径；⑤求证：A、E、B三点共圆。例7.1如图，AB为O的直径，点C为AB的中点，弦CD交AO于点E，4DE，5AE，求tanB的值。（八）方法总结和归纳：1、掌握这七种基本结构，有助于学生形成能力，增强信心。2、培养学生转化的意识。3、设未知数和运用方程思想解决计算问题。4、培养学生熟练的构造能力。三、典型例题分析EFGDCOBAFODCBAEEDOCBA例1（2013•江苏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．例2（2013•四川）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）当=时，求tanE；（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．例3.（2017·武汉二中5月模拟题）如图，O是ABC的外接圆，弧AB=弧AC，AP是O的切线，交BO的延长线于点P（1）求证：APBC（2）若3tan4P，求tanPAC的值。四、配套习题训练OPCBA1.如图，AB、AD为O