第六章误差基本知识

第六章测量误差的基本知识第一节测量误差的概念测量工作中对某些量进行重复观测时，它们之间往往存在一些差异。例：一段距离往返丈量不相等；三角形内角和不等于1800；水平角观测一周不等于3600；水准测量两次仪器高测出高差不一样等，尽管观测的十分仔细，使用较精密的仪器和合理的观测方法，也无法消除这种差异。在同一个量的各观测值之间，或观测值与理论值之间的差异，在测量工作中是普遍存在的，说明这些观测值中包含测量误差的缘故。一、产生测量误差的原因(1)观测者：由于观测者感官鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器对中、整平、瞄准和读数等方面产生误差。同时观测者的技术水平和技术熟练程度不同，对观测质量有直接的影响。4(2)测量仪器：在测量工作中通常利用仪器进行的，由于每一种仪器只具有一定限度的精密度，因此，使观测值的精度受到一定的限制。仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。如：水准尺只刻划厘米，毫米估读误差；仪器的轴线关系不正确，产生误差；度盘刻划不均，性能差等产生的误差。所以，在所以经纬仪、水准仪、测距仪等任何仪器均不可避免的产生误差。5(3)外界条件：观测时所处的外界条件，如温度、气压、湿度、清晰度、风力的强弱以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。因此，在这样的客观环境下进行观测，必然使测量的结果产生误差。观测条件:观测者、测量仪器、外界条件是引起误差的主要来源，这三大因素总称为观测条件。等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各项观测，称为等精度观测。结论：观测误差是不可避免的。(粗差除外)7二、测量误差的定义及分类测量误差----是指在一定观测条件下，观测值与真值之间的差值。根据测量误差对测量成果的影响性质，可将误差分为：系统误差、偶然误差粗差三种。。（一）系统误差1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。2．特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。例如：钢尺尺长误差、钢尺温度误差、水准仪视准轴误差、经纬仪视准轴误差9系统误差的处理方法：（1）校正仪器，把仪器的系统误差降低到最小程度。（2）求改正数，对观测成果进行必要的改正（如：钢尺比长；误差平差分配等）（3）对称观测，使系统误差对观测成果的影响互为相反数，以便在成果计算中，自行消除或消弱。如：三角高程测量的直反觇；水准测量中的仪器位于前后视中间；角度测量中的盘左盘右等。（二）偶然误差1、定义：在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。2、特点：大量的偶然误差有“统计规律”例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。偶然误差只能通过多次观测，取平均值来减小。（三）粗差粗差—是指在一定观测条件下，超过规定限差值的误差。对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。三、偶然误差的特性1、偶然误差的定义：设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：nlll,,,21n,,,21iilX真误差真值观测值2、偶然误差的规律：（1）具有一定的范围。（2）绝对值小的误差出现概率大。（3）绝对值相等的正、负误差出现的机会近于相等。（4）偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增大而趋于零,即：0][limnn14如P76表：在相同的观测条件下观测了162个三角形的内角，由于观测值存在偶然误差，所以测得的每个三角形的内角和“L”都不等于1800，其差值称为真误差（观测值与理论值之差），即:180L15误差区间正误差负误差总和′个数/个百分比/%个数/个个百分比/%个数/个百分比/%0~0.22113.02113.04226.00.2~0.41911.71911.73823.40.4~0.6159.3127.42716.70.6~0.8116.895.62012.40.8~1.095.684.91710.51.0~1.253.063.7116.71.2~1.410.631.942.51.4~1.610.621.231.81.6以上000000∑8050.68049.4162100偶然误差统计表180L误差=观测值－1800图形：偶然误差分布频率直方图正态分布曲线四个特性即有界性，趋向性，对称性，抵偿性。0limlim21nnnnnx=y误差分布频率直方图……(6-2)-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d有界性：偶然误差应小于限值。趋向性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。四、在观测工作中应采取的措施在测量工作中总是采取各种办法削弱系统误差的影响，使其处于次要地位，因此观测结果中的误差主要是偶然误差。通常对偶然误差采用以下处理方法:1、提高仪器等级2、进行多余观测3、求平差值，计算观测值的平均值或按闭合差求改正数，计算改正后的观测值，这些计算值称为观测值的平差值。误差理论证明，按上述方法计算的平差值，偶然误差最小。第二节评定精度的标准我国评定精度的标准，常用的有中误差、相对误差和极限误差三种。一、中误差在相同的观测条件下，对一个未知量进行n次观测，其观测值分别为l1、l2、…、ln，相应的真误差为△1、△2、…、△n，则中误差为式中中误差不等于真误差，中误差越小，精度越高；反之，精度越低。nm][22221...][n中误差的绝对值与观测值之比，并将分子化为1，分母取整数，称为相对中误差，即：相对中误差不能用于评定测角的精度，因为角度误差与角度大小无关。二、相对中误差mDDmK121在一般距离丈量中，往返各丈量一次，取往返丈量之差与往返丈量的距离平均值之比，将分子化为1，分母取整数来评定距离丈量的精度。称为相对误差。经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭合差不能超过1/2000,它就是相对极限误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差。与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。三、极限误差极限误差又成为允许误差，或最大误差。由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，测量上把这个限值叫做极限误差。在观测次数不多的情况下可认为大于3倍的中误差是不可能出现的，所以通常以3倍中误差作为偶然误差的极限误差，即m3允23在实际工作中，有的测量规范规定以2倍中误差作为极限误差，即超过极限误差的误差被认为是粗差，应舍去重测。m2允一、算术平均值研究误差的目的除了评定精度外，还有求其最或然值（最可靠值）。根据偶然误差的特性可取算术平均值作为最或然值。设对同一量等精度观测了n次，观测值为l1,l2,l3,….ln，则该量的算术平均值xnlnlniil][1第三节算术平均值及改正数nlnlllxn21也可表示成：证明（x是最或然值）XxlXlXlXnnnlXnilXnn即可得出：）特性由偶然误差第（得：将上式求和并除以其真误差为，观测值为设该量的真值为0][lim4][][n,......2211由以上证明可知，当观测次数无限增多时，算术平均值x趋近于真值X。在计算时，不论观测次数的多少均以算术平均值作为所求量的最或然值（接近于真值的值），这是误差理论中的一个公理。应当指出，不同精度的观测值不能取算术平均值作为最或然值。二、平差值尽管用算术平均值作为观测值的最或然值，但算术平均值中依然还存在有偶然误差，如在闭合导线中，每个转角都是根据若干个测回的角值取平均值得来的，但仍然有角度闭合差。按照误差理论，通常采用平差的方法消除闭合差。281、求改正数外业观测结果经校核符合要求后，可通过求改正数的方法以消除不符值（闭合差）。如：多边形内角和与理论值[（n-2）×180°]存在不符值。其改正数为v=﹣w/n式中：v为改正数，n为多边形边数，w为多边形闭合差。导线测量中因边长误差引起的坐标增量闭合差，也可通过求改正数的方法予以消除。水准测量中各测站的高差误差导致水准路线产生的高差闭合差，同样可通过求改正数的方法消除。2、求平差值求改正数的目的是为了消除不符值，消除不符值的方法是对观测值加以改正求得平差值（改正值）。改正后的观测值叫平差值（即平差值等于观测值加上改正数）。例如：在闭合导线内业计算中，把角度闭合差按转角个数反号平均分配给各个角度，使得改正后的角度（平差值）之和满足多边形内角和条件。30把坐标增量闭合差按导线边长成正比反号分配给各边的坐标增量，使得改正后的坐标增量之和为0，达到消除闭合差的目的。在闭合水准路线内业计算中，把高差闭合差按测站数或按路线长度成正比反号分配给各测段高差，使得改正后的高差之和等于0，以满足理论上的要求。第四节观测值的精度评定一、用真误差计算观测值的中误差由式可计算出观测值的真误差，根据一组同精度的真误差按式便可计算出观测值的中误差。180L180Lnm][例一:对同一量分组进行了10次观测，其真误差如下：第一组：+3〃、-2〃、-1〃、-3〃、-4〃、+2〃、+4〃、+3〃、+2〃、0〃；第二组：+1〃、0〃、+1〃、+2〃、-1〃、0〃、-7〃、-1〃、-8〃、+3〃；m1m2，表示第一组观测值的精度高于第二组。6.3103)8(1)7(0)1(21017.21002342)4()3()1()2(32222222222222222222221mm例2、用J6经纬仪对三角形内角观测了5个测回，计算一测回的观测值中误差。测回数观测值△△△1180°00′16″＋16″2562179°59′46″－14″1963180°00′10″＋10″1004179°59′52″－8″645179°59′58″－2″4∑620一测回观测值中误差″1.115620nm二、用最或然误差计算观测值中误差在通常情况下，观测值的真值是不知道的，因此，也就无法根据真误差计算中误差。但是，我们可以根据算术平均值x与观测值l之差，即最或然误差按下式来计算观测值的中误差，即：上式也称为白赛尔公式。1][nvvm)lx（35计算观测值中误差的步骤：1、检查外业记录，将观测值填入计算表格。2、按式计算观测值的算术平均值。3、计算最或然误差v(v=x-l),并用[v]=0进行检查。4、将各个最或然误差v平方并求和5、按式计算观测值的中误差nlnlllxn211nVVm例3：设对线段AB丈量5次，结果列于下，试求每次丈量距离的中误差。次序观测值ι改正数vvv1123.361-101002123.330+214413123.344+7494123.352-115123.368-17289∑[l]=606.755[v]=0[vv]=880mmnvvmmnlx8.14158801][351.1235755.606][观测值中误差算术平均值三、算术平均值的中误差根据误差理论得知，算术平均值的中误差为例如，根据例三表已经求得观测值的中误差m=±14.8mm,现在根据上面公式，计算距离AB的算术平均值的中误差为)1(][nnvvnmm183001351.1210066.06.658.14xMKABmmnmm差为的算术平均值的相对误还可求出距离从以上计算可以看出，算数平均值的中误差小于观测值的中误差，算数平均值的精度高于任一观测值的精度。从式也可看出平均值的中误差M，比观测值中误差缩小了倍，这表明平均值的精度提高了。)1(][nnvvn