第六节(直接证明与间接证明)

第六节直接证明和间接证明[知识能否忆起]一、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．实质由因导果(顺推证法)执果索因框图表示P⇒Q1Q1⇒Q2…Qn⇒QQ⇐P1P1⇐P2…得到一个明显成立的条件文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…二、间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B假设为“三个内角都大于60°”．2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b解析：选Aa＝lg2＋lg5＝lg10＝1，b＝ex＜1，则a＞b.3．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法解析：选B因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是________．解析：“如果ab，那么3a3b”若用反证法证明，其假设为3a≤3b.答案：3a≤3b5．如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．解析：∵aa＋bb＞ab＋ba⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b1.证明方法的合理选择(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法．(2)当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．2．使用反证法的注意点(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义；(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾．综合法典题导入[例1](2011·大纲全国卷)设数列{an}满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝k＝1nbk，证明：Sn1.[自主解答](1)由题设11－an＋1－11－an＝1，得11－an是公差为1的等差数列．又11－a1＝1，故11－an＝n.所以an＝1－1n.(2)证明：由(1)得bn＝1－an＋1n＝n＋1－nn＋1·n＝1n－1n＋1，Sn＝k＝1nbk＝k＝1n1k－1k＋1＝1－1n＋11.由题悟法综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．以题试法1．(理)(2012·东北三校模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－12x2＋13x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b；(2)证明：f(x)≤g(x)．解：(1)f′(x)＝11＋x，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得g0＝f0，f′0＝g′0，解得a＝0，b＝1.(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－13x3＋12x2－x(x＞－1)．h′(x)＝1x＋1－x2＋x－1＝－x3x＋1.h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．(文)设f(x)＝ex－1，当x＞－1时，证明：f(x)＞2x2＋x－1x＋1.证明：当x＞－1时，要使f(x)＞2x2＋x－1x＋1，即ex－1＞2x2＋x－1x＋1＝2x－1，当且仅当ex＞2x，即ex－2x＞0，令g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，得x＝ln2.当x∈(－1，ln2)时，g′(x)＝ex－2＜0，故函数g(x)在(－1，ln2)上单调递减；当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)＝ex－2＞0，故函数g(x)在(ln2，＋∞)上单调递增．所以g(x)在(－1，＋∞)上的最小值为g(ln2)＝eln2－2ln2＝2(1－ln2)＞0.所以在(－1，＋∞)上有g(x)≥g(ln2)＞0.即ex＞2x.故当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)＞2x2＋x－1x＋1.分析法典题导入[例2]△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[自主解答]要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3也就是ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．由题悟法分析法的特点与思路分析法的特点是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论等)．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．以题试法2．已知m＞0，a，b∈R，求证：a＋mb1＋m2≤a2＋mb21＋m.证明：∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证.反证法典题导入[例3]设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[自主解答](1)证明：若{Sn}是等比数列，则S22＝S1·S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3，2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．由题悟法反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)以题试法3．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数，则由a＋b＝c＋d＝1，得1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，即ac＋bd≤1，这与ac＋bd＞1矛盾，故假设不成立．即a，b，c，d中至少有一个为负数．所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤．[典例]已知数列{xn}满足x1＝12，xn＋1＝2xnx2n＋1，求证：0＜xn＋1－xn＜2＋18.[解]由条件可知数列{xn}的各项均为正数，故由基本不等式，得xn＋1＝2xnx2n＋1≤2xn2xn＝1，若xn＋1＝1，则xn＝1，这与已知条件x1＝12矛盾．所以0＜xn＜1，从而xn＋1－xn＝2xnx2n＋1－xn＝xn·1－x2n1＋x2n＝xn(1－xn)·1＋xn1＋x2n＝xn(1－xn)·11＋xn＋21＋xn－2，其中0＜xn(1－xn)≤14，1＋xn＋21＋xn≥22，因上述两个不等式中等号不可能同时成立，故0＜xn＋1－xn＜14·122－2＝2＋18.[题后悟道]本题技巧性较强，经过了两次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦．第一次是利用基本不等式，将xn＋1－xn转化为常数，在此步骤中，因两不等式中的等号不可能同时成立，所以两式相乘后不取等号，这是易错之处，必须加以警惕．从而判定出0＜xn＜1；第二次放缩法是证明不等式经常利用的方法，多采用添项或去项、分子、分母扩大或缩小，应用基本不等式进行放缩，放缩时要注意放缩的方向保持一致．针对训练已知bn＝n2n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：12≤Sn＜2.证明：因bn＝n2n，Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n，①12Sn＝122＋223＋324＋…＋n2n＋1，②①－②得，12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1.所以Sn＝2－12n－1－n2n＝2－n＋22n＜2.又Sn＋1－Sn＝n＋22n－n＋32n＋1＝n＋12n＋1＞0.所以Sn＋1＞Sn，即{Sn}是递增数列，则Sn≥S1＝12.故12≤Sn＜2.1．(2012·平顶山模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()A．不成立B．成立C．不能断定D．能断定解析：选B∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(当n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．∴an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：选D因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.3．(2012·山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：选B“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．4．(2013·银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b，a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中正确判断的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．5．(2012·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac3a”索的因应是()A．a－b0B．a－c0C．(a－b)(a－c)0D．(a－b)(a－c)0解析：选Cb2－ac3a⇔b2－ac3a2⇔(a＋c)2－ac3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a20⇔－