第六节双曲线

1第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b2aa、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)[小题能否全取]1．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为()A.－22，0B.－52，0C.－62，0D.()－3，02．若双曲线x2a2－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为()A.255B.32C.233D．23．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()2A．42B．83C．24D．484．双曲线x2a2－y2＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________.1．C2．C3．C4．答案：y＝±3x5．答案：531.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0,1)．2．渐近线与离心率：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为ba＝b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[注意]当ab0时，双曲线的离心率满足1e2；当a＝b0时，e＝2(亦称为等轴双曲线)；当ba0时，e2.3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．双曲线的定义及标准方程典题导入[例1](1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1(2)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．[答案](1)A(2)23由题悟法1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．3以题试法1．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：选B双曲线的几何性质典题导入[例2]如图，双曲线的几何性质F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()A.233B.62C.2D.3[答案]B若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．解：根据题意知1＜ba＜3，即1＜e2－1＜3.所以2＜e＜2.即离心率的取值范围为(2，2)．由题悟法1．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝ba(m＞0)或m＝ab，故离心率有两种可能．2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．以题试法2．(1)已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A.31414B.324C.32D.43解析：选C(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为()4A．y＝±33xB．y＝±3xC．y＝±2xD．y＝±22x解析：选B直线与双曲线的位置关系典题导入[例3]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(ba0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且OP·OQ＝0.求1|OP|2＋1|OQ|2的值．由题悟法1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．[注意]根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．以题试法3．F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|1MF,|＝3|2MF,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．解析：由双曲线的性质可得|2MF,|＝b，则|1MF,|＝3b.在△MF1O中，|OM,|＝a，|1OF,|＝c，cos∠F1OM＝－ac，由余弦定理可知a2＋c2－3b22ac＝－ac，又c2＝a2＋b2，所以a2＝2b2，即ba＝22，故此双曲线的渐近线方程为y＝±22x.5答案：y＝±22x[典例]已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋2)D．(2,1＋2)[答案]B[题后悟道]离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于a，b，c的方程(不等式)，通过这个方程(不等式)和b与a，c的关系消掉b后，建立a，c之间的方程(不等式)，只要能通过这个方程求出ca即可，不一定具体求出a，c的数值．针对训练1．已知点F，A分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，右顶点，点B(0，b)满足FB,·AB,＝0，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.1＋32D.1＋52解析：选D2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左，右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值为32(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．解析：因为|PT|＝|PF2|2－b－c2(b＞c)，而|PF2|的最小值为a－c，所以|PT|的最小值为a－c2－b－c2.依题意有，a－c2－b－c2≥32(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0①.又b＞0，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1②，联立①②，得35≤e＜22.答案：35，221．直线x＝2与双曲线C：x24－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点，记1OE,＝e1，2OE,＝e2，任取双曲线C上的点P，若OP,＝ae1＋be2，则实数a和b满足的一个等式是________．答案：ab＝1462．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的左，右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________________．答案：y＝±2x3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA―→,·OB―→,＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由已知得a＝3，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，所以双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，整理得(1－3k2)x2－62kx－9＝0，由题意得1－3k2≠0，Δ＝62k2＋361－3k2＝361－k2＞0，故k2≠13且k2＜1，①设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝62k1－3k2，xA·xB＝－91－3k2，由OA,·OB,＞2得xAxB＋yAyB＞2，又xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋2)(kxB＋2)＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·－91－3k2＋2k·62k1－3k2＋2＝3k2＋73k2－1，于是3k2＋73k2－1＞2，即－3k2＋93k2－1＞0，解不等式得13＜k2＜3，②由①②得13＜k2＜1，所以k的取值范围为－1，－33∪33，1.双曲线的几何性质典题导入[自主解答]设双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．∵B(0，b)，∴F1B所在的直线为－xc＋yb＝1.①双曲线渐近线为y＝±bax，由y＝bax，－xc＋yb＝1，得Qacc－a，bcc－a.由y＝－bax，－xc＋yb＝1，得P－aca＋c，bca＋c，∴PQ的中点坐标为a2cc2－a2，bc2c2－a2.由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为a2cb2，c2b.直线F1B的斜率为k＝bc，∴PQ的垂直平分线为y－c2b＝－cbx－a2cb2.令y＝0，得x＝a2cb2＋c，∴Ma2cb2＋c，0，∴|F2M|＝a2cb2.由|MF2|＝|F1F2|得7a2cb2＝a2cc2－a2＝2c，即3a2＝2c2，∴e2＝32，∴e＝62.[答案]B直线与双曲线的位置关系典题导入[例3][自主解答](1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，双曲线方程为x2a2－y23a2＝1，即3x2－y2＝3a2.∵点M(5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.∴所求双曲线的方程为x24－y212＝1.(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立x24－y212＝1，得x2＝123－k2，y2＝12k23－k2，∴|OP|2＝x2＋y2＝12k2＋13－k2.则OQ的方程为y＝－1kx，同理有|OQ|2＝121＋1k23－1k2＝12k2＋13k2－1，∴1|OP|2＋1|OQ|2＝3－k2＋3k2－112k2＋1＝2＋2k212k2＋1＝16.