第六节定积分的几何应用

1第六节定积分的几何应用一、定积分的元素法（补充）复习：定积分的定义：dxxfSxfSiiidxxfSba元素法一般步骤：（1）确定所求量S的变化区间ba,（2）在ba,上任取一小区间dxxx,dxxfdS（3）dxxfSba二．平面图形的面积：21．定积分的几何意义：（1）0xf，dxxfba表示曲边梯形的面积。（2）0xf，dxxfba表示曲边梯形面积的负值（3）xf有正有负，dxxfba表示曲边梯形面积的代数和。2．一般公式：在直角坐标系中，由连续曲线xfy1，xfy2，bxax,及x轴围成的平面图形的面积。则3dxxfxfAba12或dyyyAdc12注：（1）一般尽可能利用对称性。（2）为记忆方便，且计算简便，将面积向x轴投影时，则x为积分变量，被积函数=上--下（3）将面积向y轴投影时，则y为积分变量，被积函数=右--左（4）选择积分变量的关键：为计算简便，尽可能不分割面积投影后，相对的上曲线，下曲线，左曲线，右曲线均由同一方程表示，4否则需分割。例1求椭圆12222byax的面积注：（1）一定作图，关键是积分变量的选取（2）利用对称性例2求抛物线xy22与直线4xy所围成的图形的面积。例3求曲线2211,2xyxy与直线3x所围成的图形的面积。三．旋转体和已知平行截面面积的5立体的体积1．平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积dxxfVbax2][2．平面图形绕y轴旋转的旋转体的体积dyyVdcy2][3．一般由连续曲线xfy10xfy2，bxax,围成的平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积dxxfxfVbax2122][][6例求椭圆12222byax的分别绕x轴，y轴旋转产生的旋转体的体积注：利用对称性，但注意与面积的区别，旋转时有重叠。补充：（970410）（1）求,22xxy3,1xx及x轴所围图形的面积（2）（2）求此图形绕y轴旋转一周所得立体的体积。（9）（11/6，43/6）作业：课堂练习：P268/1习题：P96/1、3、4、5、9、14（1）7（3）、15、17、18、21不做要求的有：P96/10、11、12、13、16、20、22——25