第六节微分法在几何上的应用

第六节微分法在几何上的应用教学目的：根据导函数的几何性质，学习并掌握空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线方程的形成过程和确定方法．教学重点：空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的方程．教学难点：曲线切线、曲面切平面的切向量．教学内容：一、空间曲线的切线与法平面1．空间曲线的方程为(),(),(),()xtytztt的情形设(),(),(),()xtytztt(1)都可导．在曲线上取对应于0tt的一点),,(000zyxM及邻近的对应于ttt0的一点000(,,)Mxxyyzz．则曲线的割线MM的方程是000xxyyzzxyz当M沿着趋于M时，割线MM的极限位置MT就是曲线在点M处的切线．用t除上式的各分母，得,000tzzztyyytxxx令MM这时0),(t通过对上式取极限，即得曲线在点M处的切线方程为000000()()()xxyyzzttt(2)这里当然要假定000(),(),()ttt不能都为零．如果个别为零，则应按空间解析几何有关直线的对称式方程的说明来理解．切线的方向向量称为曲线的切向量．向量000{(),(),()}tttT就是曲线Г在点M处的一个切向量．通过点M而与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法平面，它是通过点),,(000zyxM而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为000000()()()()()()0txxtyytzz(3)例1求曲线32,,tztytx在点(1,1,1)处的切线及法平面方程．解因为,3',2',1'2tztyxttt而点(1,1,1),所对应的参数1t，所以(1,2,3)T于是，切线方程为312111zyx,法平面方程为,0)1(3)1(2)1(zyx即.632zyx2．空间曲线Г的方程为()()yxzx的情形取x为参数，它就可以表为参数方程的形式()()xxyxzx若)(),(xx都在0xx处可导，那末根据上面的讨论可知{1,(),()}xxT,因此曲线在点),,(000zyxM处的切线方程为,)()(100000xzzxyyxx(4)在点),,(000zyxM处的法平面方程为0))(('))((')(000zzxyyxxx(5)3．空间曲线Г的方程为(,,)0(,,)0FxyzGxyz的情形设),,(000zyxM是曲线Г上的一个点，又设,FG有对各个变量有连续偏导数，且000(,,)(,)0(,)xyzFGyz这时方程组(6)在点),,(000zyxM的某一邻域内确定了一组函数(),()yxzx．要求曲线Г在点M处的切线方程和法平面方程，只要求出),('),('xx然后代入(4)、(5)两式就行了．为此，我们在恒等式,0)](),(,[xxxF0)](),(,[xxxG两边分别对x求全导数，得00FFdyFdzxydxzdxGGdyGdzxydxzdx由假设可知，在点M的某个邻域内(,)0(,)FGJyz故可解得()zxzxyzyzFFGGdyxFFdxGG，()xyxyyzyzFFGGdzxFFdxGG于是{1,'(),'()}xxT是曲线在点M处的一个切向量，这里,)(000zyzyxzxzGGFFGGFFx,)(000zyzyyxyxGGFFGGFFx分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点),,(000zyxM的值．把上面的切向量T乘以,0zyzyGGFF得1000,,,yzxyzxyzxyzxFFFFFFGGGGGGT这也是曲线在点M处的一个切向量，由此可写出曲线Г在点),,(000zyxM处的切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx(7)曲线Г在点),,(000zyxM处的法平面方程为)(00xxGGFFzyzy.0)()(0000zzGGFFyyGGFFyxyxxzxz(8)如果0),(),(0zyGF而00),(),(,),(),(yxGFxzGF中至少有一个不等于零，我们可得同样的结果．例2求曲线6222zyx,0zyx在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程．解将所给方程的两边对x求导并移项，得1dydzyzxdxdxdydzdxdx由此得,1111zyxzzyzxdxdy1111yxdzxyyzdxyz,0)1,2,1(dxdy.1)1,2,1(dxdz从而{1,0,1},T故所求切线方程为,110211zyx法平面方程为0)1()2(0)1(zyx,即.0zx二、曲面的切平面与法线1．隐式方程情形我们先讨论由隐式给出曲面方程(,,)0Fxyz(9)的情形，然后把由显式给出的曲面方程(,)zfxy作为它的特殊情形．设曲面∑由方程(9)给出，),,(000zyxM是曲面∑上的一点，并设函数(,,)Fxyz的偏导数在该点连续且不同时为零．在曲面∑上，通过点M任意引一条曲线（图8―8），假定曲线的参数方程为),(),(),(tztytx(10)0tt对应于点),,(000zyxM且000(),(),()ttt不全为零，则由(2)式可得这曲线的切线方程为)(00txx=,)()(0000tzztyy因为曲线Г完全在曲面∑上，所以有恒等式[(),(),()]0Fttt，又因(,,)Fxyz在点),,(000zyx处有连续偏导数，且000(),(),()ttt都存在，所以这恒等式左边的复合函数在0tt时有全导数，且这全导数等于零：,0)(),(),(0tttttFdtd即有000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xyzFxyztFxyztFxyzt(11)引入向量000000000{(,,),(,,),(,,)},xyzFxyzFxyzFxyzn则(11)式表示曲线（10）在点M处的切向量000{'(),'(),'()}tttT与向量n垂直．因为曲线(10)是曲面上通过点M的任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一个向量n垂直，所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上（图8―8）．这个平面称为曲面∑在点M的切平面，这切平面的方程是000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xyzFxyzxxFxyzyyFxyzzz(12)通过点),,(000zyxM而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线．法线方程是000000000000(,,)(,,)(,,)xyzxxyyzzFxyzFxyzFxyz(13)垂直于曲面上切平面的向量（即切平面的法线向量）称为曲面的法向量，向量000000000{(,,),(,,),(,,)}xyzFxyzFxyzFxyzn就是曲面∑在点M处的一个法向量．2．显式方程情形设曲面方程为(,)zfxy(14)令(,,)(,)Fxyzfxyz),可见(,,)(,)xxFxyzfxy,(,,)(,)yyFxyzfxy，(,,)1zFxyz.于是，当函数(,)fxy的偏导数(,)xfxy、(,)yfxy在点),(00yx连续时，曲面（14）在点000(,,)Mxyz处的法向量为0000((,),(,),1)xyfxyfxyn切平面方程为,0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx或))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx(15)而法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx这里顺便指出，方程(15)右端恰好是函数),(yxz在点),(00yx的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量．因此，函数),(yxz在点),(00yx的全微分，在几何上表示曲面),(yxz在点),,(000zyx处的切平面上点的竖坐标的增量．如果用,,表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是一锐角，则法向量的方向余弦为,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff221cos1xyff这里，把),(),,(0000yxfyxfyx分别简记为xf,yf．例3求球面14222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程．解F(zyx,,)=14222zyx,{,,}{2,2,2}xyyFFFxyzn(1,2,3){2,4,6}n．所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为,0)3(6)2(4)1(2zyx即,01432zyx法线方程为,332211zyx即123xyz由此可见，法线经过原点(即球心)．小结与思考：本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了微分法的应用．利用导函数的几何性质，针对空间曲线的一般表现方式，给出了空间曲线的切向量，从而确定了空间曲线的切线与法平面方程；同时针对由隐式给出的曲面方程，推导出曲面的切平面与法线方程，并给出了曲面法向量的方向角．作业：作业卡p16-17