第六讲圆锥曲线的综合问题

绍兴一中高二备课组期末复习教案1第六讲圆锥曲线的综合问题一．复习目标⑴灵活运用解析几何的常用方法,通过建立数学模型实现应用问题向数学问题的转化；⑵通过应用问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.二、题型归类题型1．圆锥曲线中的参数问题与定点、定值问题例1．(1)若动点P(x,y)在曲线)0(14222bbyx上变化，则x2+2y的最大值为（A）A．24(04),42(4)bbbbB．24(02),42(2)bbbbC．442bD．2b(2)椭圆22162xy和双曲线2213xy的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（A）A．13B．23C．73D．14(3)若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则2xy的最小值为()A.1B.－1C.－323D.以上都不对解析：2xy的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.令Δ=0，k=±323.∴kmin=－323.答案：C例2：（2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：11y+21y=b1；（3）当a=2p时，求∠MON的大小.剖析：易知直线l的方程为ax+by=1，欲证11y+21y=b1，即求2121yyyy的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得11y+21y=b1.由OM·ON=0易得∠MON=90°.亦可由MNbaOxyl绍兴一中高二备课组期末复习教案2kOM·kON=－1求得∠MON=90°.（1）解：直线l的截距式方程为ax+by=1.①（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0.②点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=bpa2，y1y2=－2pa.所以11y+21y=2121yyyy=pabpa22=b1.（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=11xy，k2=22xy.当a=2p时，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=22214)(pyy=2224)4(pp=4p2，因此k1k2=2121xxyy=2244pp=－1.所以OM⊥ON，即∠MON=90°.评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力题型2。圆锥曲线的综合问题例3已知曲线C：221yx（1）由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，点P分EF所成的比为13，问：点P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；（2）如果直线l的一个方向向量为1,2，且过点M（0，2），直线l交曲线C于A、B两点，又92MAMB，求曲线C的方程．解：（1）、设00(,),(,)ExyPxy，则0(,0)Fx，∵点P分EF所成的比为13∴13EPPF∴0001,,3xxyyxxy∴0023xxyy代入22001yx中，得22419yx为P点的轨迹方程。当49时，轨迹是圆。（2）由题设知直线l的方程为22yx，设1122,,,AxyBxy绍兴一中高二备课组期末复习教案3联立方程组22221yxyx，消去y得：224240xx.∵方程组有两解∴20且0∴2或0且2又已知92MAMB，M、A、B三点共线，由向量知识得MAMBMAMB或MAMBMAMB而121222MAMBxxyy121212223xxxxxx∴1233()22xx或又∵1242xx∴433()222或解得25（舍去）或14∴曲线C的方程是22114yx.（也可以用两点间的距离公式得到123MAMBxx，以下解法同。）例4．在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.（1）如果直线l过抛物线的焦点，求OBOA的值；（2）如果,4OBOA证明直线l必过一定点，并求出该定点.解：（1）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x=ty+1代入抛物线y2=4x消去x得y2-4ty-4=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则4,42121yytyy212122212121212(1)(1)()1OAOBxxyytytyyytyytyyyy=3414422tt（2）法一：设l：x=ty+b代入抛物线y2=4x消去x，得y2-4ty-4b=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)则y1+y2=4ty1y2=－4b2212121212121212()()()OAOBxxyytybtybyytyybtyybyy=bbbbbtbt44442222令2044,4422bbbbb∴直线l过定点（2，0）法二：设22212122114,4),(),,(xyxyyxByxA则绍兴一中高二备课组期末复习教案4641616442121222121212121yyxxyyyyxxyyxxOBOA4,8064162121212221xxyyyyyy从而①当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴x1=x2∵21xx=4∴x1=x2=2此时直线l过（2，0）点②当直线l的斜率存在时0,2121yyxx∴)(4212221xxyy∴2121214yyxxyy∴l的方程为：)(41211xxyyyy即12112144yyyxxyyy∴)2(421xyyy此时直线l过定点（2，0）综上，直线l过定点（2，0）.例5．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0∵该直线与圆1)2(22yx相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为xy故设双曲线C的方程为12222ayax，又∵双曲线C的一个焦点为)0,2(∴1,2222aa，∴双曲线C的方程为122yx（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是)0(4)2(22xyx①绍兴一中高二备课组期末复习教案5由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（TTyx,）则yyxxyyxxTTTT222,222即代入①并整理得点N的轨迹方程为)22(122xyx（3）由022)1(112222mxxmyxmxy得令22)1()(22mxxmxf直线与双曲线左支交于两点，等价于方程)0,(0)(在xf上有两个不等实根.因此21012012022mmmm解得又AB中点为)11,1(22mmm∴直线L的方程为)2(2212xmmy令x=0，得817)41(2222222mmmb∵)2,1(m∴)1,22(817)41(22m∴故b的取值范围是),2()22,(四．作业1．如图，已知双曲线C1：nxmy22=1(m＞0,n＞0),圆C2：（x－2）2+y2=2,双曲线C1的两条渐近线与圆C2相切，且双曲线C1的一个顶点A与圆心C2关于直线y=x对称，设斜率为k的直线l过点C2.（1）求双曲线C1的方程；（2）当k=1时，在双曲线C1的上支上求一点P，使其与直线l的距离为2..解：（1）双曲线C1的两条渐近线方程为：y=±nmx,顶点A为（0，m）∵双曲线C1的两渐近线与圆C2：（x－2）2+y2=2相切绍兴一中高二备课组期末复习教案6∴nmnm12=2即nmm2=1①又∵A(0,m)与圆心C2（2，0）关于直线y=x对称∴m=2②由①、②解得：m=n=4故双曲线C1的方程为：y2－x2=4(2)当k=1时，由l过点C2（2，0）知：直线l的方程为：y=x－2设双曲线C1上支上一点P（x0,y0）到直线l的距离为2，则y02－x02=42200yx=2故或y02－x02=4x0－y0=2－22解得x0=2或x0=2y0=－22y0=22又∵点P（x0,y0）在双曲线C1的上支上，故y0＞0故点P的坐标为（2，22）.2．如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90O，AD∥BC,AB=2,AD=1.5,BC=0.5，，椭圆以A、B为焦点且经过点D．（1）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（2）若点E满足12ECAB,问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出直线l与AB夹角θ的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系则(10)A，，(10)B，，1(1)2C，，3(1)2D，设椭圆方程为22221(0)xyabab则2222223()(1)211abab解得2243ab∴所求椭圆方程为22143xyy02-x02=4x0-y0=2+22EODCBAxyABCD绍兴一中高二备课组期末复习教案7（2）由12ECAB得点E的坐标为1(0)2，显然直线l与x轴平行时满足题意，即0直线l与x轴垂直时不满足题意不妨设直线:(0)lykxmk由22143ykxmxy得222(34)84120kxkmxm由222644(34)(412)0kmkm得2243km设11()Mxy，，22()Nxy，,MN的中点为00()Fxy，则12024234xxkmxk，002334mykxmk∵MENE∴MNEF∴00112yxk即22311342434mkkmkk解得：2342km由22234432kk得1122k且0k故直线l与AB夹角的正切值的取值范围是1[0)2，