第十一章(理)第7节离散型随机变量及其分布列

1第十一章第七节离散型随机变量及其分布列题组一离散型随机变量分布列的性质1.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：ξ－101P0.51－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22解析：由分布列的性质得：0≤1－2q＜1，0≤q2＜1，0.5＋1－2q＋q2＝1⇒0＜q≤12，q＝1±22.∴q＝1－22.答案：C2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于()A.316B.14C.116D.516解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.答案：A3．(2010·荆门模拟)由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据依次为______________．解析：由于0.20＋0.10＋0.5x＋0.10＋0.1y＋0.20＝1，得0.x5＋0.1y＝0.40，于是两个数据分别为2,5.答案：2,5题组二求离散型随机变量的分布列4.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．2解：随机变量X的取值为3,4,5,6.P(X＝3)＝3336CC＝120；P(X＝4)＝121336CCC＝320；P(X＝5)＝121436CCC＝310；35310CCP(X＝6)＝121536CCC＝12.故随机变量X的分布列为：X3456P120320310125．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为34，遇到红灯(禁止通行)的概率为14.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：(1)ξ的分布列；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．解：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用Ak表示事件“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”，则P(Ak)＝34(k＝1,2,3,4)，且A1，A2，A3，A4独立．故P(ξ＝0)＝P(A1)＝14；P(ξ＝1)＝P(A1·A2)＝34×14＝316；P(ξ＝2)＝P(A1·A2·A3)＝(34)214＝964；P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3·A4)＝(34)314＝27256；P(ξ＝4)＝P(A1·A2·A3·A4)＝(34)4＝81256.从而ξ有分布列：ξ012343P143169642725681256(2)P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－81256＝175256.即停车时最多已通过3个路口的概率为175256.题组三超几何分布问题6.(2010·随州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2125解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝2139313CCC＝27220.答案：C7．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于46781015CCC的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，4678CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝46781015CCC.答案：C8．(2009·天津高考改编)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为310C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为337CCkk，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝337310CCCkk，k＝0,1,2,3.4所以随机变量X的分布列是X0123P72421407401120(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝1233310CCC＝340，P(A2)＝P(X＝2)＝740，P(A3)＝P(X＝3)＝1120，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝340＋740＋1120＝31120.题组四离散型随机变量及其分布列的综合应用9.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.解析：相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：1610．一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球；①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X分布列．(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710，并指出袋中哪种颜色的球个数最少．解：(1)①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则5P(A)＝1－210210CCx＝79，得到x＝5.故白球有5个．②随机变量X的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝35310CC＝112；P(X＝1)＝1255310CCC＝512；P(X＝2)＝2155310CCC＝512；P(X＝3)＝35310CC＝112.故X的分布列为：X0123P112512512112(2)证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y＝25n，所以2y＜n,2y≤n－1，故yn－1≤12.记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则P(B)＝25·n－yn－1＋35·yn－1＋25·y－1n－1＝25＋35×yn－1≤25＋35×12＝710.所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少．