第十一章无穷级数(答案)

1第十一章无穷级数一、选择题1、无穷级数1nnu的部分和数列}{nS有极限S，是该无穷级数收敛的C条件。A、充分，但非必要B、必要，但非充分C、充分且必要D、既不充分，又非必要2、无穷级数1nnu的一般项nu趋于零，是该级数收敛的C条件。A、充分，但非必要B、必要，但非充分C、充分且必要D、既不充分，又非必要3、若级数1nnu发散，常数0a，则级数1nnauBA、一定收敛B、一定发散C、当0a收敛，当0a发散D、当1a收敛，当1a发散。4、若正项级数1nnu收敛，则下列级数必定收敛的是AA、1100nnuB、1)100(nnuC、1)100(nnuD、1)100(nnu5、若级数1nna收敛，1nnb发散，为正常数，则级数1)(nnnbaBA、一定收敛B、一定发散C、收敛性与有关D、无法断定其敛散性6、设级数1nnu的部分和为nS，则该级数收敛的充分条件是DA、0limnnuB、1lim1ruunnnC、21nunD、nnSlim存在7、设qk、为非零常数，则级数11nnqk收敛的充分条件是CA、1qB、1qC、1qD、1q8、级数111npn发散的充分条件是AA、0pB、1pC、0pD、1p9、级数1nna收敛，是级数1nna绝对收敛的C条件A、充分，但非必要B、必要，但非充分C、充分必要D、既不充分，又非必要10、交错级数111)1(npnn绝对收敛的充分条件是AA、0pB、0pC、1pD、1p11、设常数0k，则级数12)1(nnnnkB2A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与k有关12、设常数0a，则级数12sinnnaAA、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与a有关13、级数12!nnn与11)1(nnn的敛散性依次是、DA、收敛，收敛B、发散，发散C、收敛，发散D、发散，收敛14、下列级数中，为收敛级数的是CA、131nnB、111nnC、121nnnD、112nnn15、下列级数中，为发散级数的是BA、1!2nnnB、12!nnnC、121nnnD、12)1(nnn16、下列级数中，为绝对收敛级数的是DA、111nnB、11)1(nnnC、1212)1(nnnnD、12)1(nnn17、下列级数中，为条件收敛级数的是AA、121)1(nnnnB、11)1(nnnnC、121)1(nnnnD、12!)1(nnnn18、幂级数12)1(nnnnx的收敛区间是BA、[-2，2]B、2,2C、(-2,2)D、2,219、幂级数111)1(nnnnx的收敛域是、DA、(-1,1)B、[-1，1]C、1,1D、1,120、幂级数111)1()1(nnnnx的收敛域是CA、[-2，0]B、（-2，0）C、0,2D、0,2二、填空题21、当参数满足条件时，级数111nnnn收敛。22、当参数p满足条件时，级数111)1(npnn条件收敛。23、若级数0nnnxa的收敛半径为R，则级数02nnnxa的收敛半径为24、若级数0nnnxa的收敛半径为R，则级数nnnnxa012的收敛半径为25、级数01!)1(nnnxn的和函数为26、级数021)!12()1(nnnxn的和函数为27、设)(xf在),(内有定义的周期函数，周期为2，且)(xf在,的表达式为：3xxxxxf0,10,1)(22，则)(xf在x处的付立叶级收敛于28、设)(xf在),(内有定义的周期函数周期为2，且10,01,2)(3xxxxf，则)(xf在3x处的付立叶级数收敛于29、设)(xf在),(内有定义的周期函数，周期2T，且)()(2xxxxf，其付立叶级数为10)sincos(2nnnnxbnxaa，则系数3b30、设函数)10(,)(2xxxf，其付立叶级数为0sin)(nnxnbxS，其中系数10sin).(2xdxnxfbn，则)21(S21、2122、01p23、R24、R225、xxe26、xxsin27、228、3/229、3230、41三、计算题1、判别级数nnnn1133的敛散性。2、判断级数1576nnnn的敛散性。3、判断级数1!.3nnnnn的敛散性。4、求幂级数15)1(nnnnx的收敛域。5、求幂级数13)1(nnnnx的收敛域。6、求幂级数112)3(2nnnnxn的收敛区间（不讨论端点处的敛散性）。7、求级数11nnnx的和函数。8、求级数112nnxn的和函数。9、求级数01212)1(nnnnx的和函数。10、将函数321)(2xxxf展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间。11、证明：若正项级数0nna与0nnb均收敛，则级数0nnnba与0nnna也收敛。12、证明：若0limaann，则级数11nnnaa与nnaa111同敛散性。41、解：∵0)1311(lim)133(limlim31ennnunnnnnn，∴根据级数收敛的必要条件，原级收敛发散。2、解：∵176576576limlim1111nnnnnnnnnnuu，∴根据比值审敛法，原级数收敛。3、解：∵13)11(3lim)1().1(3lim!.3)1()!1.(3limlim1111ennnnnnnnuunnnnnnnnnnnnn∴根据比值审敛法，原级数发散。4、解：∵155).1(5).2(lim)()(lim111xnxnxxaxannnnnnnn（令）即55x，当5x时，原级数化为：111)1(5)1()5(nnnnnnn，收敛；当5x时，原级数化为：11115)1(5nnnnnn，发散。故原级数的收敛域为5,5。5、解：∵131.3)1()1(3)1(lim)()(lim111xnxnxxaxannnnnnnn（令），即42x，当2x时，原级数化为：11)1(3)12(nnnnnnn，收敛；当4x时，原级数化为：111.3)14(nnnnnn，发散。故原级数的收敛域为4,2。6、解：∵21112111211)3(2)3(2lim)3(2.)3(2)1(lim)()(limxnnxnxnxaxannnnnnnnnnnnnnn13.)3().(21)(lim223232xxnnn（令），即32x。∴原级数的收敛区间为)3,3(。7、解：原式110212212]1[][)(nnnnnnnnxxxxxxnxx)1,1(,)1(]111[222xxxx8、解：原式11111111)()()1(])1([nnnnnnnnnnxxxnxxnnxnnn]111[]111[]1[]1[][][0011xxxxxxxxxnnnnnnnn)1,1(,)1(1)1(1)1(2323xxxxx9、解：原式xxnxnnnnnnndxxdxnxdxnx00000212012)(]12)1[(]12)1([5xxarrcdxx02)1,1(,tan)(1110、解：∵0)1,1(,11nnxx∴)(1141311121]1131[41)3)(1(1)(xxxxxxxf0010)3,3(,])1(31[41)(41)3(121nnnnnnnnxxx11、证（1）∵对于任意正数nnba与恒有0)(2nnba，即02nnnnbbaa。∴2nnnnbaba，而级数000)(212nnnnnnnbaba收敛，故由比较审敛法知0nnnba也收敛。证（2），在（1）中取21nbn，则00201nnnnnnnnanaba，故若正项级数0nna收敛，则0nnna也收敛。12、证：令nnnnnnaaaau11,11，则0lim11limlim2111aaaaaaaunnnnnnnnnnn，于是，根据比较审敛法的极限形式，00nnnnu与同敛散性。