第十一章矩阵与变换1,2学案

第十一章矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法姓名日期考点梳理一、二阶矩阵的定义1．由4个数,,,abcd排成的正方形数表称为二阶矩阵．2．元素全为0的二阶矩阵称为零矩阵，简记为．矩阵1001称为二阶单位矩阵，记为．二、矩阵与向量的乘法1．行矩阵1112aa与列阵1121bb的乘法规则为1112aa1121bb＝．2．二阶矩阵11122122aaaa与列向量00xy的乘法规则为11122122aaaa00xy＝．三、几种特殊线性变换1．恒等变换把任何一点（向量）或图形变换为自身的变换，叫做恒等变换，对应的二阶矩阵为．2．伸压变换像矩阵10102，2001这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称作沿y轴或x轴的变换矩阵，对应的变换称为伸压变换．3．反射变换像1001，1001，1001这种将一个平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵称为矩阵，对应的变换叫做反射变换．4．旋转变换直角坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋转角的旋转变换的坐标变换公式是cossinsincosxxyyxy，对应的二阶矩阵为．5．投影变换像1000，1010这类将平面内图形投影到某条直线（或某一个点）上的矩阵称为投影变换矩阵，对应的变换叫做投影变换．6．切变变换保持图形的面积，大小不变而点面距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换．平行于x轴的切变变换对应的二阶矩阵为，平行于y轴的切变变换对应的二阶矩阵为．四、线性变换的基本性质性质1．设M是一个二阶矩阵，,是平面上的任意两个向量，是一个任意实数，则（1）()M；（2）()M．性质2．设M是一个二阶矩阵，,是平面上的任意两个向量，12,是任意两个实数，则1212()MMM．五、二阶矩的乘法1．设1112111221222122,aabbMNaabb，则111111121222211121122222abababMNababab．2．对直角坐标系xOy内的任意向量，有()()ABAB．3．二阶矩阵的乘法满足结合律，即()ABC．基础自测1．已知矩阵1002A和1101B，求先A后B的变换所对应的矩阵.2．已知变换1231xxxyyy，在此变换下，求直线:21lxy变换后所得直线l的方程.3．试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换.（1）1001，方程为22yx；（2）1001，点(2,5)A；（3）2001，曲线方程224xy.4．若某种线性变换把向量13,22，分别变为向量25,41.求：（1）该变换对应的矩阵.（2）线段21(21)yxx在该变换下所得曲线方程.典型例题例1．已知ABC经过矩阵M的变换变成了ABC，且(1,0),(1,1),(0,1),ABC(1,0),A(0,1)B.（1）试求出矩阵M，并说明它的变换类型；（2）试求出点C的坐标.例2．求出曲线221xy依次经过矩阵2001,0110AB作用下变换得到的曲线方程.例3．已知直线l过点(0,4)A，其方向向量是(2,2)v，给定矩阵0110M和矩阵1111N.（1）试写出直线l方程的向量表示；（2）试分别求出点A和向量v在矩阵M和矩阵N变换下的象；（3）分别求出直线l在矩阵M和矩阵N变换下的象.例4．已知矩阵2311M所对应的线性变换把点(,)Axy变成点(13,5)A，试求M的逆矩阵及点A的坐标.例5．已知,abR，若13aMb所对应的变换MT把直线:321lxy变换为自身，试求实数a、b的值.第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量姓名日期考点梳理一、逆变换与逆矩阵1．对于二阶矩阵,AB，若有，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．2．逆矩阵的性质性质1．设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是的．性质2．设,AB是二阶矩阵，如果,AB都可逆，则AB也可逆，且．3．定理：二阶矩阵abAcd可逆，当且仅当时，它的逆矩阵为1dbadbcadbcAcaadbcadbc．二、二阶矩阵与二元一次方程组定理：如果关于变量,xy的二元一次方程组（线性方程组）axbymcxdyn的系数矩阵abAcd可逆，即det()0abAadbccd，那么该方程组有唯一解1xabmycdn．三、特征向量定义设矩阵abAcd，如果存在数以及非零向量，使得，则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量．四、特征多项式设abAcd是一个二阶矩阵，R，我们把行列式()f称为A的特征多项式．五、特征向量的性质设12,是二阶矩阵M的两个不同特征值，12,是矩阵M的分别属于特征值12,的特征向量，对于任意的非零平面向量，设112212(,tttt实数），则对任意的正整数n，有nM．基础自测1．已知可逆矩阵345aA的逆矩阵为11bcAa，求,,abc值．2．已知矩阵1001,0210AB，求1()AB．3．求矩阵12532M的特征值．4．求矩阵3324M的特征值与特征向量．典型例题例1已知以原点为中心旋转60°的变换f对应于矩阵A，切变变换:xxygyy，对应于矩阵B．（1）写出矩阵A和矩阵B；（2）从逆变换的角度求解矩阵A和矩阵B的逆矩阵；（3）计算1()AB，11AB和11BA．例2用矩阵方法求解二元一次方程组28,452.xyxy例3已知矩阵1214A，向量74．（1）求A的特征值12,和对应的一个特征向量12,；（2）计算5A的值．例4给定矩阵21331233M，2112N及向量1211,11ee．（1）证明：M和N互为逆矩阵；（2）证明：1e和2e都是M的特征向量．