第十一讲函数与方程高一必修1版本

1第七讲函数与方程【知识要点】一.函数的零点方程0)(xf的实数根叫做函数))((Dxxfy的零点。①方程()0fx有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx有零点；②如果函数()yfx在区间(,)ab上的图像是连续不断的，且有()()0fafb，则函数()yfx在区间(,)ab上有零点。二.二分法1．如果函数()yfx在区间],[nm上的图像是连续不断的一条曲线，且0)()(nfmf，通过不断地把函数()yfx的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2．给定精确度，用二分法求函数)(xfy的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间],[nm，验证0)()(nfmf，给定精确度；（2）求区间],[nm的中点1x；（3）计算)(1xf：①若0)(1xf，则1x就是函数)(xfy的零点；②若0)()(1xfmf，则令1xn（此时零点),(10xmx）；③若0)()(1nfxf，则令1xm（此时零点),(10nxx）（4）判断是否达到精确度；即若nm，则得到零点值m（或n）；否则重复步骤（2）（3）（4）注意：计算次数n和精确度满足关系:2【典例精讲】考点1零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点.[例1]求函数2223xxxy的零点.[名师指引]函数的零点不是点，而是函数()yfx的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2：确定函数零点的个数.[例2]求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数.[名师指引]求函数)(xfy的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）直接求方程0)(xf的实数根；②（几何法）对于不能轻易求出根的非常规方程，可以将它与函数)(xfy的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)图象与x轴的交点横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点横坐标．利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．[新题导练]1．方程223xx的实数解的个数为_______2．已知函数f(x)＝4x－4，x≤1，x2－4x＋3，x＞1。则函数y＝f(x)－log2x的零点的个数是（）（A）4（B）3（C）2（D）13．已知a是函数f(x)＝lnx－log21x的零点，若0＜x0＜a，则（）（A）f(x0)＝0（B）f(x0)＞0（C）f(x0)＜0（D）f(x0)的符号不确定考点2用二分法求方程的近似解[例3]利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…2xy1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…2yx0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程22xx的一个根位于下列区间的（）.A.（0.6，1.0）；B.（1.4，1.8）；C.（1.8，2.2）；D.（2.6，3.0）3[名师指引]判断函数的零点或方程的根所在的区间的依据：零点定理------如果函数()yfx在区间(,)ab上的图像是连续不断的，且有()()0fafb，则函数()yfx在区间(,)ab上有零点。[新题导练]1．用二分法研究函数13)(3xxxf的零点时，第一次经计算0)0(f，0)5.0(f，可得其中一个零点0x_________，第二次应计算_________，这时可判断0x_________.2.若函数32()22fxxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：2)1(f625.0)5.1(f984.0)25.1(f260.0)375.1(f162.0)4375.1(f054.0)40625.1(f那么方程32220xxx的一个近似根（精确到0.1）为（）.A．1.2;B．1.3;C．1.4;D．1.5考点3根的分布问题[例4]已知a是实数,函数axaxxf3222,如果函数xfy在区间1,1上有零点，求a的取值范围。[名师指引]由函数的零点特征确定参数的取值范围：①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数f（x）=a+bx+c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.4[新题导练]1.已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,1]C．(－∞，1)D．(－∞，1]2．函数221fxmxx有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（）A．,1；B．,01；C．,00,1；D．,13.若关于x的方程+a+a+1=0有实数根，求实数a的取值范围.【精品作业】1.下图是函数()fx的图像，它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数()fx在区间（）上的零点A．[2.1,1]B．[1.9,2.3]C．[4.1,5]D．[5,6.1]2．方程22xx的解所在区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）3．设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfx（）A在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。C在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。D在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4．已知函数xxfx2log)31()(，若实数0x是方程0)(xf的解，且010xx，则)(1xf的值（）A．恒为正值；B．等于零；C.恒为负值；D.不大于零55．函数f(x)＝1－|2x－1|，则方程f(x)·2x＝1的实根的个数是()A．0B．1C．2D．36．若函数fx的零点与422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25，则fx可以是()A.41fxxB.2(1)fxxw.w.w.k.s.5.u.cmC.1xfxeD.12fxInx7.由表格中的数据可以判定方程02exx的一个零点所在的区间))(1,(Nkkk，则k的值为（）x－10123xe0.3712.727.3920.092x12345A．0B．1C．2D．38．若1x满足2x+2x=5,2x满足2x+22log(x－1)=5,1x+2x＝（）（A）52(B)3(C)72(D)49.已知函数f(x)＝ax＋1，x≤0，log2x，x＞0。则关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确是（）（A）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点（B）当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点（C）无论a为何值，均有2个零点（D）无论a为何值，均有4个零点10.已知函数f(x)=，若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围是.11．已知关于x的二次方程+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.