不确定环境下供应链的生产与订购决策问题 数学模型

不确定环境下供应链的生产与订购决策问题队长：高荟凯40850441信息0815队员：汪正康40850433信息0815队员：刘涛40850276信息0810摘要：供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。本文通过遵循从简单到复杂，从一级到多级，从不变到变化的过程，建立了三个数学模型。对于不确定性的分析是以变量在变化区间内均匀分布为基础，结合概率论求期望和微积分求最大值的知识，来确定生产与订购决策的最优化问题，使企业获得最大利润，保障社会主义市场经济健康、持续、快速的发展。关键词：均匀分布、期望、微积分、模型的逐步递进。问题的重述与分析：供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。通过建立数学模型，求解不同情况下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。这个问题需要我们讨论如何确定订购量和生产量，使生产者和销售者的利益达到最大。为此，我们需要分类讨论他们不相同时，生产者和销售者的利益函数，并求得最大值，其对应的生产量和订购量就是我们要求的最优方案！模型假设：1.假设只有一个生产商和一个销售商（针对模型1、2）；2.假设只有一个一级生产商和一个二级生产商(针对模型3)；3.假设市场需求是确定的（针对模型1,3）；4.假设市场需求量是不确定的，其概率密度函数符合均匀分布（针对模型2）；5.一级生产商的生产量是不确定的，其概率密度函数符合均匀分布；6.二级生产商的生产量是不确定的，其概率密度函数符合均匀分布。模型建立与求解：符号定义：Q:生产商计划生产量；Z：销售商计划订购量；N：商品市场需求量；X:二级生产商订购量；M:二级生产商生产量；Y：一级生产商生产量；W1：一级生产者利润；W：二级生产者利润；W2:销售商利润。模型一:（1）对于销售商：(商品市场需求量N为400)当Z=N时；经营成本：40Z+5(Z-N);销售总额：60N;企业利润：60N-40Z-5(Z-N)=26000-45Z;当ZN时；经营成本：40Z+15(N-Z);销售总额：60Z;企业利润：60Z-40Z-15(N-Z)=35Z-6000;当Z=N时，销售者企业利润W2为Z的减函数；当ZN时，销售者企业利润W2为Z的增函数；所以，当Z=N=400时，销售者利润W2达到最大值，即此时的订购量为最优订购量！（2）对于生产者：当Y=Z时：生产成本为：20Y+(Y-Z)*5;销售总额为：40*Z;企业利润为：40*Z-20Y-(Y-Z)*5=45*Z-25*Y;当YZ时：生产成本为：20Y+15(Z-Y);销售总额为：40*Y;企业利润为：40*Y-20Y-(Z-Y)*15=35*Y-15*Z;假设生产商生产量概率密度函数f(Y)为服从【0.85Q,1.15Q】的均匀分布，则f（Y）=103Q.由上面分析可知，在最优订购量R*=400时求Q，使得W1取得最大值，W1是随机变量Y的函数，所以它也为随机变量，所以即求W1期望取得最大值时对应的Q值。当0.85Q《400《1.15Q时：dyQyQdy310)2518000(40015.13Q10*6000)-(35y0.85Q400E(W1)当4000.85Q时：dy3Q10*25y)-(180000.85Q1.15QE(W1)当1.15Q400时：dy3Q10*6000)-(35y0.85Q1.15QE(W1)分别计算出E(W1)，再求导可得：当4000.85Q时：0)1(dQWdE;E(W1)递减；当1.15Q400时：0)1(dQWdE;E(W1)递增；所以在区间0.85Q《400《1.15Q内，E(W1)取得最大值；当它的导数为0时对应的Q就是最佳计划产量。当0)1(dQWdE时，Q=405.86，所以，最佳计划产量为405。模型二：在模型一的基础上，我们进一步假设：市场需求量N也是一个随机变量，且商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为[0.8,1.2]，即实际市场需求量的区间为[320,480]。这里，我们认为在这个区间内N均匀分布，即N~U（320,480）,f(N)=1/160。（1）对于销售商：当Z=N时；经营成本：40Z+5(Z-N);销售总额：60N;企业利润：60N-40Z-5(Z-N)=65N-45Z;当ZN时；经营成本：40Z+15(N-Z);销售总额：60Z;企业利润：60Z-40Z-15(N-Z)=35Z-15N;显然，最优订购量应处于320至480之间，所以企业利润W2的期望为：dNNZZdNZNZWE1601)1535(4801601)4565(320)2(解得：316001954)2(2ZZWE;当0)2(dZWdE时；Z=390；此时W2达到最大，所以，最优订购量Z等于390。（2）对于生产者：当Y=Z时：生产成本为：20Y+(Y-Z)*5;销售总额为：40*Z;企业利润为：40*Z-20Y-(Y-Z)*5=45*Z-25*Y;当YZ时：生产成本为：20Y+15(Z-Y);销售总额为：40*Y;企业利润为：40*Y-20Y-(Z-Y)*15=35*Y-15*Z;由模型一的分析可得（此时最优订购量Z等于390）：当0.85Q《390《1.15Q时：dyQyQdy310)2518000(39015.13Q10*6000)-(35y0.85Q390E(W1)当3900.85Q时：dy3Q10*25y)-(180000.85Q1.15QE(W1)当1.15Q390时：dy3Q10*6000)-(35y0.85Q1.15QE(W1)由模型一的分析可得，在区间0.85Q《390《1.15Q内，E(W1)取得最大值；所以，当0.85Q《390《1.15Q：860001599000025.97)1(QQWE;当0)1(dQWdE时，Q=405.49；此时生产者利润最大化，所对应的Q=405.5就是最佳计划产量！模型三：前面的两个模型讨论了只有一级生产商时的订购和决策问题。现在，我们推广考虑，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量，这里我们假设产成品的市场需求量是确定的。（1）对于二级生产商：若二级生产商没有不确定性，则M=0.7X;但是其不确定区间为【0.9，1.1】，所以我们假设M在【0.63X,0.77X]】服从均匀分布！当M280时:生产成本：40X+10M+7(M-280)销售总额：95*280企业利润：28560-40X-17M;当M《280时:生产成本：40X+10M+30(280-M);销售总额：95M;企业利润：115M-40X-8400;现在我们需要做的，就是通过计算出企业利润期望的最大值，找出它所对应的X，即最优订购量。当0.63X2800.77X:dmXxdmXXMXWE14.01)17M-40X-28560(28077.014.01)840040115(63.0280)(当280=0.63X:dmXXXWE14.01)17M-40X-28560(63.077.0)(当0.77X=280:dmXXXWE14.01)8400-40X-115M(63.077.0)(在0.63X2800.77X内，E(W)可取的最大值，计算可得：XXWE23919488036960000)(;当E（W）=0时；X=393.2；所以，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量为393.2。（2）对于一级生产商：和前面的模型一样，我们同样假设一级生产商的产量Y服从【0.85Q，1.15Q】内的均匀分布；当Y=X时：生产成本为：20Y+(Y-X)*5;销售总额为：40*X;企业利润为：40*X-20Y-(Y-X)*5=45*X-25*Y;当YX时：生产成本为：20Y+15(X-Y);销售总额为：40*Y;企业利润为：40*Y-20Y-(X-Y)*15=35*Y-15*X；前面我们已经计算出二级生产商的最优订购量X为393.2；所以：当0.85Q《393《1.15Q时：dyQyQdy310)2517685(39315.13Q10*5895)-(35y0.85Q393E(W1)当3930.85Q时：dy3Q10*25y)-(176850.85Q1.15QE(W1)当1.15Q393时：dy3Q10*5895)-(35y0.85Q1.15QE(W1)在区间0.85Q《393《1.15Q内，E(W1)可取的最大值，当0.85Q《393《1.15Q时：844951544490025.97QQE;当0dQdE时，Q=398.5；所以一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量为398.5。模型评价：本文建立了三个模型，在逐步递进的基础上讨论了不确定环境下供应链的生产与订购决策问题。本文以概率论和微积分知识为基础，模型简单易懂，十分具有可操作性，计算量小，使用价值强！但是本文的模型也只局限于二级生产者参与的生产链，若对于更复杂的生产链则无法起到很好的预测作用，适用范围有限！模型推广：在本文讨论的两级生产不确定的供应链中，产成品的市场需求量是一个定值，但实际生活中却总是在一定范围内变化的随机变量。所以，为了推广模型的应用，我们可以假设在模型三中，产成品的市场需求量服从一定范围内的均匀分布，结合模型二的经验，则二级生产商的利润函数可以看成两个随机变量的函数，而且它们的期望已知，可以通过求这两个随机变量的联合分布来确定利润函数的最大值！而且，此模型不仅在两层生产链中适用，而且可以推广到多级分层生产链的问题当中去，能够更好地为社会实践当中这些问题的解决提供一个新的思路。参考文献：李娜，《概率论基础》，北京，机械工业出版社，2009.1熊伟，《运筹学》，北京，机械工业出版社，2009.9