第十一讲第4课：基本不等式 (教案)

祁东二中高三文科复习学案[e-mail]第1页共6页第十一讲不等式第4课：基本不等式2abab（a＞0，b＞0）一．课标要求1、教学目标：①了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题③了解证明不等式的基本方法——综合法2、教学重点：①综合法证明不等式②利用重要不等式求最值二．要点精讲1.基本形式:,abR,则222abab;0,0ab,则2abab,当且仅当ab时等号成立.2、常用重要不等式：①,abR则222abab②22222abab,abR③2()4abab（,abR）④若0ab则2baab3、最值定理：设x＞0，y＞0，由2xyxy（1）若积xyp（定值）则和xy有最少值2p（2）若和xy=s（定值）则积xy有最大值2()2s利用基本不等式求最值应满足的条件：“一正、二定、三相等”4、.拓展：若0,0ab时,2221122abababab,当且仅当ab时等号成立.【课前预习】1.已知a＞0,b＞0，a1+b3=1，则a+2b的最小值为()A.7+26B.23C.7+23D.14答案A2．（天津文9）设yxbababaRyxyx11,32,3,1,1,,则若的最大值为A2B23C1D21答案：C解析：因为3log,3log,3bayxyxba，1)2(loglog11233baabyx3.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2的最小值是()A.0B.1C.2D.4祁东二中高三文科复习学案[e-mail]第2页共6页答案D4.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为（）A.7B.339C.1+22D.5答案A5．（2008·江苏）2,,,230,yxyzRxyzxz的最小值为。解析：本小题考查二元基本不等式的运用。由230xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当3xz时取“=”。答案：3三．典例解析题型1、利用基本不等式求最值(或取值范围)例1.（1）若x＞0，求12()3fxxx的最少值；（2）若x＜0，求12()3fxxx的最大值例2.（1）已知0,ab且满足4ab=1,求ab的最大值.（2）已知2x，求42xx的最少值（3）已知0,0xy且满足281xy,求xy的最小值（4）已知0,0xy且1xy求49xy的最少值【解题思路】利用281xy，构造均值不等式解析：∵2828()1()()28yxxyxyxyxyxy,0,0xy,∴280,0yxxy1021618xy,当且仅当28yxxy时等号成立,即224yx,∴2yx,又281xy,∴6,12xy∴当6,12xy时,xy有最小值18.【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______．【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．祁东二中高三文科复习学案[e-mail]第3页共6页解法一由a、b∈R+，由重要不等式得a+b≥2ab，则ab=a+b+3≥2ab+3，即32abab≥)1)(3(0abab≥ab0≥3，∴ab≥9．解法二a、b为正数，∴ab=a+b+3≥333ab0，两边立方得a3b3≥34aba2b2≥34，∵ab0，∴ab≥9．解法三原条件式变为ab-3=a+b，①∵a、b均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴a2b2-6ab+9≥4ab，即a2b2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，由①式可知ab3，∴ab≥9．解法四把a、b∈R+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则△=(3-ab)2-4ab≥0，即(ab)2-10ab+9≥0，∴(ab-9)(ab-1)≥0，∵ab-1=a+b+20成立，∴ab≥9．解法五由已知得a(b-1)=b+3，显然a1，∴13bba，514114)1(5)1(132bbbbbbbbab≥9542，即ab≥9．【名师指引】本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法．题型：利用基本不等式证明例4、（1）已知,,abcR,求证:222abcabbcca.（2）已知a，b为正数，求证：abba≥ba．（1）【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.[解析]2222222,2,2ababbcbcacac,相加整理得222abcabbcca.当且仅当abc时等号成立.【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.（2）【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1：∵a0，b0，∴bba≥abba22，aab≥baab22，两式相加，得祁东二中高三文科复习学案[e-mail]第4页共6页aabbba≥ba22，∴abba≥ba．解析2.abbbaababaabba)(≥abba22)(ba．∴abba≥ba．解析3.∵a0，b0，∴0ba，∴欲证abba≥ba，即证babbaa≥ba，只要证bbaa≥abba，只要证2)(bbaa≥2)(abba，即证ababba233≥222abababba，只要证a3+b3≥ab(a+b)，只要证a2+b2-ab≥ab，即证(a-b)2≥0．∵(a-b)2≥0成立，∴原不等式成立．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用．这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．【课外作业】1.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围为（）A.,0B.,4C.,5D.4,4答案C2.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（）A.y=x+x4B.y=xxlg1lgC.y=11122xxD.y=x2-2x+3答案D3.已知0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为()A.31B.21C.43D.32答案B4.（2008·聊城模拟）若直线2ax+by-2=0（a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则a2+b1的最小值是（）祁东二中高三文科复习学案[e-mail]第5页共6页A.1B.5C.42D.3+22答案D5.（1）已知0＜x＜34，求x(4-3x)的最大值；（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y的最小值.解（1）已知0＜x＜34,∴0＜3x＜4.∴x(4-3x)=31(3x)(4-3x)≤3122343xx=34当且仅当3x=4-3x,即x=32时“=”成立.∴当x=32时，x(4-3x）的最大值为34.（2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.∴2x+4y≥2yx42=2yx22=232=42.当且仅当3242yxyx，即x=23,y=43时“=”成立.∴当x=23,y=43时，2x+4y的最小值为42.6、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解（1）设污水处理池的宽为x米，则长为x162米.则总造价f(x)=400×xx16222+248×2x+80×162=1296x+x1002961+12960=1296xx100+12960≥1296×2xx100+12960=38880（元），当且仅当x=x100(x＞0),即x=10时取等号.∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元.（2）由限制条件知161620160xx,∴1081≤x≤16.设g(x)=x+x100168110x.祁东二中高三文科复习学案[e-mail]第6页共6页g(x)在168110,上是增函数，∴当x=1081时(此时x162=16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值.10分1296×818008110+12960=38882(元).∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38882元.四、思维总结1、能利用综合法、比较法证明不等式2、能利用基本不等式解决问题①满足条件：一正，二定，三相等。②合理拆分项或配凑因式是常用技巧，而拆与凑的目的在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现极为定植或和为定值。③多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法。