电路原理-一阶电路和二阶电路.

第九章一阶电路和二阶电路3.一阶动态电路的时间常数及其物理含义5.一阶动态电路的全响应求解方法：三要素法2.一阶动态电路的零输入响应及其标准求解方法1.零输入响应、零状态响应、全响应的概念4.一阶动态电路的零状态响应及其求解方法本章内容提要6.电容电压和电感电流不连续电路的响应求解9-1动态电路的响应的分类换路:电源的接入或断开、电路结构或元件参数的突然改变等引起电路的变化统称为“换路”。对电路的分析往往以换路为计时起点，即令t＝0时发生换路。换路前的一瞬时起为t＝0－，换路后的一瞬时记为t＝0＋，并认为换路在0－至0＋瞬间完成。原始状态：动态电路在t＝0－时的集合[uC(0－)、iL(0－)]初始状态：动态电路在t＝0＋时的集合[uC(0＋)、iL(0＋)]动态电路响应零输入响应电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原始储能（即由uC(0－)和iL(0－)决定的电路中的储能）所引起的响应电路在零状态下[即uC(0－)＝0、iL(0－)＝0]，仅由输入激励引起的响应零状态响应一个非零状态的电路，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应全响应对于线性动态电路而言，全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加。9-2一阶电路的零输入响应一、RC电路的零输入响应（ZIR）只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为电阻元件、受控源的电路是零输入的一阶电路。Rcu0)S(ti+-C+-Ru图示电路，S闭合前一瞬间的电容电压uC(0－)＝U0，S闭合后电路中的响应是零输入响应。0ddCCutuRC电路方程0)0()0(UuuCC初始条件解得0e0tUuRCtC0edd0tRUtuCiRCtCCuO0U0368.0)(UuC0135.0)2(UuC005.0)3(UuC00068.0)5(UuC2345ttiRU0ORCtCUue0RCtRUie0从图中可以看出，uC和i都是从各自的初始值按相同的指数规律衰减，衰减的快慢取决于指数函数中的大小。仅取决于电路的结构和元件的参数。RC1是一个衰减因子，RC具有时间的量纲。对于给定的RC电路，R和C的乘积是一个常量，称为RC电路的时间常数，用表示，即RCteRC关于时间常数的说明：（1）时间常数是体现一阶电路惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。（2）对于含电容的一阶电路，RCR：由动态元件看进去的戴维宁等效电阻秒＝安培秒安培＝伏特库仑安培伏特][（3）的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反映过渡特性的一个重要物理量，越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。时，0t000)0(UeUuC时，t010368.0)(UeUuC因此，就是衰减到所需的时间。)(0tuC)(%8.360tuCuCU00.368U0O123t123理论上要经过无限长时间uC才衰减至零，工程上一般认为换路后，经过时间过渡过程结束。5~3t0uCU00.368U00.135U00.05U00.0184U00.0068U02345（4）一阶电路微分方程的特征根为时间常数的倒数，它具有频率的量纲，称为“固有频率”。例9-2-1图示电路，t＝0时开关S断开，已知开关断开前电路已工作了很长时间，求换路后的响应uC、iC、iR。V6100)S(tCi+-Cu20+-1220μF10Ri10Ci+-Cu2020μF10RiCi+-CuRμF1012二、RL电路的零输入响应0ddLLRitiL电路方程0)0()0(IiiLL初始条件解得0e0tIitLRL0edd0tRItiLutLRLLSULi+-Lu+-RL0)S(tSR图示电路，S断开电路中的电流和电压已稳定，S断开前一瞬间的电感电流。S断开后电路中的响应是零输入响应。0ss)0(IRuiLLi0I0368.0Itt0RILuOORL电路的时间常数：RL0edd0tRItiLutLL0e0tIitL则有三、一阶电路的零输入响应的结论2.RC电路和RL电路中的零输入响应电压和零输入响应电流都以同一时间常数按指数规律变化。经过以后，可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。5~41.求解RC电路和RL电路零输入响应的输入——输出方程是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为，令特征根，则是电路的时间常数，RC电路的时间常数，RL电路的时间常数。因此，零输入响应亦为ptrtre)0()(1pRCRLtrtre)0()()0(r（为响应的初始值）例9-2-2求图示电路换路后的响应、、。CuCiRiV6100)S(tCi+-Cu20+-1220μF10Ri9-3一阶电路的零状态响应零状态响应（ZSR）：电路在零初始状态下（动态元件初始储能为零），由外施激励引起的响应。一、电路方程图（a）所示电路，已知，开关S闭合以后电路中的响应即为零状态响应。00Li(a)V4+-Lu+-8H20)S(tR8iLi6ab(b)10+-V)(ε2t+-LuH2Li210dd2LLiti0A)e2.02.0(5titL0V)(ε25tteutL解得A/Lis/t2.0Os/tV/Lu2O二、一阶电路零状态响应电路方程及解的一般形式)(ddtfartr式中r为待求响应，f(t)为由激励决定的右端项，其函数形式取决于激励的函数形式。特解（取决于激励函数的形式）fr通解（当时，衰减为零）tAr1tettArrrr1ftfe全解由初始条件解得0r)0()0(frrA210dd2LLiti指数由特征方程的特征根决定幅度由初始条件和特解共同决定故方程的解为trrrre)]0()0([ffrf——强迫响应；rf(0+)——强迫响应的初值；r(0+)——响应初值；τ——电路的时间常数。上式为一阶电路的解得一般形式，是普遍适用的。r(0+)、rf、τ被称为一阶电路的解的三要素。一阶电路零状态响应解的求法trrrre)]0()0([ff1.根据换路前电路的状态，确定待求量的初值2.将电路中除动态元件以外的电路用戴维南等效电路代替，确定电路时间常数3.求解电路的强迫响应)0(r强迫响应的求解强迫响应就是在激励作用下，电路趋于稳态后的响应。当激励为常量时，响应也为常量，此时问题转换为求解时，电感元件等效为短路，电容元件等效为开路后，电路中的响应当激励为正弦量时，响应为与激励同形式的正弦量，此时问题转换求解电路的正弦稳态响应，可采用向量法t例9-3-1在（a）所示电路中，，开关S在他t＝0时闭合，求闭合后电路中的电流i。)sin(mstUuSui+-L0)S(tR(a)smUmI+-LjR(b)r(0+)、rf、τ被称为一阶电路的解的三要素。trrrre)]0()0([ff例9-3-2在图（a）所示电路中，已知，的波形如图（b）所示，求、。00CusiCuCiSi+-CuRCiCA/SiOs/t52(a)(b)trrrre)]0()0([ff9-4一阶电路的全响应由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。如下图所示，设uC=uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。RC电路的全响应对t≥0的电路，以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为0)0(UuUudtduRCCSCC1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即StCUKeu代入初始条件uC(0+)=U0得K=U0-US1式从而得到StSCUeUUu)(0通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US=uC(∞)受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有全响应=暂态响应+稳态响应2式2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：)1(0tStCeUeUu3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即全响应=零输入响应+零状态响应3式非零状态的电路（、），在换路以后，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应称为全响应。00Cu00Li对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应之和。对于直流激励的一阶动态电路，通常采用三要素法求解。StSCUeUUu)(0三要素法：teyyyty)]()0([)()(---为时间常数。1、三要素法的计算公式)(ty----为任意瞬时电路中的待求电压或电流；)0(y----为相应所求量的初始值；)(y----为相应的稳态值；一阶动态电路响应的分类：1）零输入响应与零状态响应)1()(0tstCeUeUtu零输入响应零状态响应2）自然响应与强迫响应、暂态响应和稳态响应tssCeUUUtu)()(0强迫响应稳态响应自然响应暂态响应直流激励下的全响应三要素求解法一、确定初始值f(0+)初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值。(1)先作t=0-电路。确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-),这个状态即为t＜0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。(2)作t=0+电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，图电容、电感元件在t=0时的电路模型L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路线代替，L视为开路。见下图。作t=0+电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u(0+)、i(0+)。二、确定稳态值f(∞)作t=∞电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u(∞)、i(∞)。在直流激励的电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。三、求时间常数τRC电路中，τ=RC；RL电路中，τ=L/R；其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。21111CCC电容串联21CCC电容并联21LLL电感串联21111LLL电感并联iL(t)io(t)Sba3V3V1H2Ω1Ω2Ω例题：已知t0时电路已稳定，求t0+时的iL和i01kuS(t)(V)++1010FuS(t)uC(t)O23t(s)__-20)(tuC例题：电路如图所示，电容上原来无储能求skRC01.01011）时:st20VetutC)1(10)(1001VeuC10)1(10)2(21001解：该电路的时间常数为方法一：子区间三要素法2）时:sts32VeetuttC)2(100)2(10023020)]20(10[20)(VeuC203020)3()23(10023）时:st3VeetuttC)3(100)3(100320)020(0)(