第十一讲容斥原理

巨人学校五年级尖子仁华预备班第十一讲容斥原理第十一讲容斥原理『方法总结』：一、二元容斥原理：||||||||ABABAB。二、三元容斥原理：||||||||||||||||ABCABCABACBCABC三、学会画出图形来表示两个或者三个对象之间的关系，利用田字格方块图来表示两个对象的容斥原理，掌握对应数在图形中的特定位置，利用三圆环交叉画来理解三个对象的容斥原理。例题:1、六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.[分析与解答]所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数)=46-(17+14-4)=19(人)2、在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.[分析与解答]在1到10000中,能被5整除的有2000510000(个),能被7整除的有1428710000(个),能被35整除的有2857310000(个).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(个).从而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(个).3、在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.[分析与解答]会游泳会奇车全班巨人学校五年级尖子仁华预备班第十一讲容斥原理1~10000中完全平方数有100个(因为1002=10000),完全立方数有21个(因为21310000223),完全六次方数有4个(因为461000056).故1~10000中是完全平方数或完全立方数的数共有100+21-4=117(个);从而既不是完全平方数,又不是完全立方数的数有10000-117=9883(个).4、某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.[分析与解答]如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.5、分母是1001的最简真分数有个.[分析与解答]1~1001中,有7的倍数14371001(个);有11的倍数91111001(个),有13的倍数77131001(个);有711=77的倍数13771001(个),有713=91的倍数11911001(个),有1113=143的倍数71431001(个).有1001的倍数1个.由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(43+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.10122062x排球队足球队蓝球队巨人学校五年级尖子仁华预备班第十一讲容斥原理6、在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.[分析与解答]如图,当100人都是或者音乐爱好者,或者体育爱好者时,这两者都爱好的人数为最小值即56+75-100=31(个).当所有的音乐爱好者都是音乐爱好者时,这两者都爱好的人数最大可为56人.7、某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?[分析与解答]如图,选甲乙而不选丙的有a=29-24=5(人),选甲丙而不选乙的b=28-24=4(人),选乙丙而不选甲的有c=26-24=2(人),仅选了丁的人有d=35-24-a-c=4(人),仅选了丙的人有e=31-24-b-c=1(人),故少选了一科的人数是:甲+d+c+e=45(人),故三门均未选的人数为50-45=5(人).8、求小于1001且与1001互质的所有自然数的和.[分析与解答]由第5题的结论知分母是1001的最简分数的个数是720.又真分数1001a和真分数10011001a(a与1001互质)是成对出现的,故上述720个真分数可以分成360对,每一对=数之和为1,故上述720个分母是1001的真分数之和为360.所以所有小于1001且与1001互质的数之和为3601001=360360.音乐爱好者体育爱好者甲乙丙24abcde巨人学校五年级尖子仁华预备班第十一讲容斥原理9、如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C三个图形公共部分(阴影部分)的面积.[分析与解答]设阴影部分的面积是x,由容斥原理知28-(5+3+4)+x=18,故x=2.10、分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.[分析与解答]因为385=5711,故在1~385这385个自然数中,5的倍数有765385(个),7的倍数有557385(个),11的倍数有355385(个),57=35的倍数有1135385(个),511=55的倍数有755385(个),711=77的倍数有77385=5(个),385的倍数有1个.由容斥原理知,在1~385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-(11+7+5)+1=145(个),而5、7、11互质的数有385-145=240(个).即分母为385的真分数有240(个).如果有一个真分数为385a,则必还有另一个真分数385385a,即以385为分母的最简真分数是成对出现的,而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时,它们的和为1120=120.11、64人订A、B、C三种杂志.订A种杂志的28人,订B种杂志的有41人,订C种杂志的有20人,订A、B两种杂志的有10人,订B、C两种杂志的有12人,订A、C两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人?[分析与解答]设三种杂志均订的人数为x,则有28+41+20-10-12-12+x=64,解得x=9,即三种杂志都订的有9人.ABC巨人学校五年级尖子仁华预备班第十一讲容斥原理练习题1、求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.[分析与解答]在1~1994中,能被5整除的个数为39851994;能被6整除的个数为33261994;能被7整除的个数为28471994;能被56=30整除的个数为66301994;能被57=35整除的数为56351994;能被67=42整除的个数为47421994;能被567=210整除的个数为92101994.根据容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的数的个数为:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,从而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数为1994-854=1140(个).2、夏日的一天,有10个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可；有5个人要咖啡；有5个人要果汁；有3个人既要可可又要果汁；有2个人要可可又要咖啡；有3个人要咖啡又要果汁；有1个人既要可可、咖啡又要了果汁.求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要[分析与解答]要了冷饮的总人数为6+5+5-3-2-3+1=9(人),但总人数为10人,故一定有一个人什么冷饮也没有要.ABCx