第十七章隐函数存在定理

第十七章隐函数存在定理1单个方程的情形1．设函数(,)Fxy满足(1)在区域00:Dxaxxa，00ybyyb上连续；(2)00(,)0Fxy；(3)当x固定时，函数(,)Fxy是y的严格单调函数；则可得到什么结论？试证明之.2．方程2sin()0xyxy在原点附近能否用形如()yfx的方程表示？又能否用形如()xgy的方程表示？3．方程222(,)(1)0Fxyyxx在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有连续导数的函数()yfx.4．证明有唯一可导的函数()yyx满足方程sinsinhyx，并求出导数'()yx，其中sinh2yyeey.5．方程ln1xzxyzye在点0(0,1,1)P的某邻域内能否确定出某一个变量是另外两个变量的函数.6．设f是一元函数，试问f应满足什么条件，方程2()()()fxyfxfy在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的y为x的函数.7．设有方程：()xyy，其中(0)0，且当aya时，'()1yk.证明：存在0，当x时，存在唯一的可微函数()yyx满足方程()xyy且(0)0y.2方程组的情形1．试讨论方程组2221,22xyzxyz在点0(1,1,2)P的附近能否确定形如()xfz，()ygz的隐函数组.2．求下列函数组的反函数组的偏导数：(1)设cos,sinyyuxvxxx，求,,,xxyyuvuv；(2)设sin,cosxxuexyvexy，求,,,xxyyuvuv.3．设2xur，2yvr，2zwr，其中222rxyz.(1)试求以,,uvw为自变量的反函数组；(2)计算(,,)(,,)uvwxyz.4．设,iif连续可微，且1(,iFx1122)((),(),nixfxx())nnx(1,2,i…n).求1212(,,)(,,)nnFFFxxx.5．据理说明：在点(0,1)附近是否存在连续可微函数(,)fxy和g(,)xy满足(0,1)1,(0,1)1fg，且33(,)(,)0,(,)(,)0.fxyxgxyygxyyfxyx6．设(,,,),(,,)0,(,)0.ufxyztgyzthzt在什么条件下u是,xy的函数？求,uuxy.7．设函数()uux由方程组(,,),(,,)0,(,,)0ufxyzgxyzhxyz所确定，求22,dududxdx.8．设(,)zzxy满足方程组(,,,)0,(,,,)0.fxyztgxyzt求dz.9．设(,,),(,,)0.ufxutyutzutgxyz求,uuxy.这时t是自变量还是因变量？10．设0000(,,,)xyzu满足方程组()()()(),(,)()()(),(,)()()().fxfyfzFugxgygzGuhxhyhzHu这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点的邻域内确定,,xyz作为u的函数的充分条件；(2)在23(),(),()fxxgxxhxx的情形下，上述条件相当于什么？11．设,,11uuxuyzuvuw，取,uv为新的自变量，w为新的因变量，变换方程222zzxyzxy.