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东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）第五节数列的综合应用东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）最新考纲1.能运用数列的概念、公式、性质解决简单的实际问题．2．能运用观察、归纳、猜想的手段，建立有关等差(比)数列、递推数列模型．高考热点1.以数列知识为载体考查数学建模以及运用数列知识解决实际问题的能力．2．数列与函数、不等式、解析几何、三角函数等知识的综合问题是近几年高考的热点.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）1.数列与其他章节的综合题数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来，另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何等部分也有广泛的应用．2．数列的探索性问题探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求．3．等差数列与等比数列的综合问题东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）4．数列的实际应用现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考虑用数列的知识来加以解决．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）1．数列应用题要以教材中的复利计算和分期付款模型为基本研究类型，注意是an，还是Sn问题，并注意对实际问题有实际意义，进行合理性验证．2．分类讨论和等价转化思想是本节内容考查中最容易穿插的思想方法，体现在递推数列转化为等差或等比数列．将解析几何问题、三角问题、不等式问题分类讨论或进行转化，以数列方式解决，还应注意数列极限和数学归纳法的使用.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）题型一等差数列的实际应用思维提示转化为等差数列的通项及前n项和问题例1由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60～100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品．第一天运送1000t，第二天运送1100t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100t，连续运送15天，总共运送21300t，求在第几天达到运送食品的最大量．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[解]设在第n天达到运送食品的最大量．则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列．an＝1000＋(n－1)·100＝100n＋900.其余每天运送的食品量是首项为100n＋800，公差为－100的等差数列．依题意，得1000n＋n(n－1)2×100＋(100n＋800)(15－n)＋(15－n)(14－n)2×(－100)＝21300(1≤n≤15)．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）整理化简得n2－31n＋198＝0.解得n＝9或22(不合题意，舍去)．即在第9天达到运送食品的最大量．[规律总结]本题属等差数列应用问题．应用等差数列的前n项和求和公式，在求和后，整理化简便得所求问题的答案.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）备选例题1甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）解：(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n＋n(n－1)2＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去)．故第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n＋n(n－1)2＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－6×70＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去)．故第2次相遇是在开始运动后15分钟.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）例2(2007·上海)近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%(如2003年的年生产量的增长率为36%)．(1)求2006年全球太阳能电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦)；题型二等比数列的实际应用思维提示等比数列通项公式及前n项和公式东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦，假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%)，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少？(结果精确到0.1%)东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[解](1)由题意知：2003年的太阳能年生产量为：a1＝670×(1＋36%)，2004年的太阳能年生产量为：a2＝a1(1＋38%)，2005年的太阳能年生产量为：a3＝a2(1＋40%)，2006年的太阳能年生产量为：a4＝a3(1＋42%)，即a4＝670×1.36×1.38×1.40×1.42＝2499.8兆瓦．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）(2)设2006年后4年内年安装量的增长率为x.则由题意知：1420×(1＋x)4≥2499.8×(1＋42%)4×95%，解得x≥0.615＝61.5%，即x的最小值为61.5%.答：(1)2006年的太阳能年生产量为2499.8兆瓦．(2)4年内年安装量的增长率的最小值为61.5%.[规律总结]与等比数列联系较大的是“增长率”“递减率”的概念，在经济上要涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更要涉及利率的问题，这都与等比数列有关.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）备选例题2某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，…….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）(1)写出Tn与Tn－1(n≥2)的递推关系式；(2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．(1)解：我们有Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．(2)证明：T1＝a1，对n≥2反复使用上述关系式，得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an.①在①式两端同乘1＋r，得东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)．②②－①，得rTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an＝dr[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an，即Tn＝a1r＋dr2(1＋r)n－drn－a1r＋dr2.如果记An＝a1r＋dr2(1＋r)n，Bn＝－a1r＋dr2－drn，则Tn＝An＋Bn，东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）其中{An}是以a1r＋dr2(1＋r)为首项，以1＋r(r＞0)为公比的等比数列；{Bn}是以－a1r＋dr2－dr为首项，－dr为公差的等差数列.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）例3(2010·德州调研)某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买10万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款的方案购车：方案一：分3次付清，购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款．方案二：分12次付清，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，……购买后12个月第12次付款．题型三增长率与分期付款问题思维提示构造等比数列东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）规定分期付款中每期付款额相同，月利率为0.8%，第月利息按复利计算，即指上月利息要计入下月本金．试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少？注：计算结果保留三位有效数字．参考数据：1．0083≈1.024,1.0084≈1.033,1.00811≈1.092，1．00812≈1.1,1.0211≈1.243,1.0212≈1.268.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[解析]本题主要考查等比数列分期付款等基础知识，考查分析问题及解决实际问题的能力．可利用等量关系：付清后买、卖双方的本息款额相等．对于方案一，设每次付款为x1万元，那么一年后，第1次付款的本金为1.0088x1万元，第2次付款的本金为1.0084x1万元，第3次付款的本金为x1万元，则1.0088x1＋1.0084x1＋x1＝10×1.00812，∴x1(1.0084)3－11.0084－1＝10×1.00812，∴x1＝10×1.00812×(1.0084－1)1.00812－1≈10×1.1×0.3330.1＝3.63(万元)．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）付款总额为3×3.63＝10.89万元．对于方案二，设每次付款额为x2万元，那么一年后，第1次付款的本金为1.00811x2万元，第2次付款的本金为1.00810x2万元，……第12次付款的本金为x2万元，则1.00811x2＋…＋1.008x2＋x2＝10×1.00812.∴x2·1.00812－11.008－1＝10×1.00812，∴x2＝10×1.00812×0.0081.00812－1≈10×1.1×0.0080.1＝0.88(万元)．付款总额为12×0.88＝10.56(万元)＜10.89(万元)．[答案]第二种方案付款总额较少．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[规律总结]采用分期付款的方法，购买售价为a元的商品(或贷款a元)，每期付款数相同，购买后1个月(或1年)付款1次，过1个月(或1年)再付1次，如此下去，到第n次付款后全部付清．如果月利率(或年利率)为b，那么每期付款x元满足下列关系；按年利息时为a(1＋nb)＝x{1＋(1＋b)＋(1＋2b)＋…＋[1＋(n－1)b]}，按复利计息时为a(1＋b)n＝x[1＋(1＋b)＋(1＋b)2＋…＋(1＋b)n－1]，化简得x[(1＋b)n－1]＝ab(1＋b)n.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）备选例题3某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1＋12n)万元(n为正整数)．(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式．(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）解：(1)依题设An＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n－10n2；Bn＝500[(1＋12)＋(1＋122)＋…＋(1＋12n)]－600＝500n－5002n－100.(2)Bn－An＝(500n－5002n－100)－(490n－10n2)＝10n2＋10n－5002n－100＝10[n(n＋1)－502n－10]．因为函数y＝x(x＋1)－502x－10在(0，＋∞)上为增函