曲线积分与曲面积分习题课

1第十章曲线积分与曲面积分目录下页返回结束习题课例题选讲基本内容2一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终首页上页下页返回结束322(),()()d[()][()]dxtyttsttt(1)写出曲线L方程及相应弧微分公式ds①L为参数方程:②L为直角坐标方程：2()()d1[()]dygxaxbsgxx③L为极坐标方程：1222()d()drrsrr对弧长的曲线积分解题步骤：首页上页下页返回结束4(2)将L的表达式及弧微分公式直接代入曲线积分式,化为定积分,定出积分限.(注:下限小于上限)22(,)d((),())[()][()]dLfxysfttttt2(,)d(,())1[()]dbLafxysfxgxgxx2122(,)d(cos,sin)()dLfxysfrrrrL为参数方程L为直角坐标方程L为极坐标方程首页上页下页返回结束5(1)直接化为对参变量的定积分:(),()Lxtytdd{[(),()]()[(),()]()}dLPxQyPtttQtttt对坐标的曲线积分计算方法：()Bt()At注:下限对起点,上限对终点首页上页下页返回结束6(2)利用积分与路径无关的条件若,则积分只与L的起点与终点有关,故可选取便于计算的路径,如折线段、圆弧段、直线段(结合P、Q考虑).QPxy(3)利用格林公式(适用于封闭曲线)化为定积分.注:若曲线L不是封闭的,直接计算又困难,可考虑添加辅助曲线C,使L+C为封闭曲线,再利用格林公式.()ddddDLQPxyPxQyxy首页上页下页返回结束7(4)利用斯托克斯公式(适用空间封闭曲线积分).()dd()dd()dddddRQPRQPyzzxxyyzzxxyPxQyRzdddddddddyzzxxyPxQyRzxyzPQR利用行列式记号可记为：首页上页下页返回结束8coscoscosddddsPxQyRzxyzPQR或：注:格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面闭区域D(空间曲面Σ)上重积分(曲面积分)与边界曲线上曲线积分之关系.首页上页下页返回结束9(1)利用对称性简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;2.基本技巧对于曲线积分,下面四个条件等价:ddLPxQy①曲线积分与路径无关.②被积表达式是某个函数的全微分.③沿任何闭路线的曲线积分为零..PQyx④首页上页下页返回结束10(5)利用两类曲线积分的联系公式.dd[coscos]dLLPxQyPQs其中α,β为有向曲线L上点(x,y)处的切向量的方向角.(4)利用斯托克斯公式;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);首页上页下页返回结束11二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定积分区域—把曲面积分域投影到相关坐标面首页上页下页返回结束1222(,,)d(,,(,))1ddxyxyDxyfxyzSfxyzxyzzxyDxoy是在面上的投影.计算方法(,),zzxy若曲面：则第一类(对面积的曲面积分)(,)(,),.yyzxxxyz如果积分曲面由方程或给出可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分首页上页下页返回结束13(,,)dd(,,)dd(,,)ddPxyzyzQxyzzxRxyzxy1)(,),zzxy若曲面：则Σ上侧取正号,下侧取负号.第二类(对坐标的曲面积分)(,,)dd(,,(,))ddxyDRxyzxyRxyzxyxy(,,)dd((,),,)ddyzDPxyzyzPxyzyzyzΣ前侧取正号，后侧取负号.2)(,),xxyz若曲面：则首页上页下页返回结束14(,,)dd(,(,),)ddzxDQxyzzxQxyzxzzx3)(,),yyzx若曲面：则Σ右侧取正号，左侧取负号.注：对于封闭曲面,可考虑用高斯公式.首页上页下页返回结束152.基本技巧(1)利用对称性简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面))dddddddPQRvPyzQzxRxyxyz（高斯公式反映的是空间闭区域Ω上三重积分与其边界曲面Σ上的曲面积分之间的关系.首页上页下页返回结束16(3)两类曲面积分的转化dddddd[coscoscos]dPyzQzxRxyPQRS其中α,β,γ为有向曲面Σ上点(x,y,z)处的法向量的方向角.首页上页下页返回结束17三、例题选讲解利用极坐标,22ddsrr原式=dLaxsda2222d,1.LxysLxyax计算其中为圆周例xaoyrt说明:若用参数方程计算,则22d()()dsxyt首页上页下页返回结束1822222222d,.Iyzsxyzaxy计算例曲分其中为球面与平面相交的圆周xozy2222Lyza解因在上有,所以cos2cos(02)2sinaxtayttzat首页上页下页返回结束19解220sindattt所以原式220cossinattt(2)dd,(sin),(1cos)0.32LayxxyLxattyatt计算其中为摆线上对应从到的例一段弧首页上页下页返回结束20zoyx1解因在上有故原式=2224d,1,.xyzzyzxyzz计算其中由平面截球面所得从轴正向看沿逆时例针方向首页上页下页返回结束21CoyxABL解法1令22,,PxyQyx则这说明积分与路径无关,故22()d()dABIxyxyxy2daaxx22()d()d,,.5LIxyxyxyLa计算其中是沿逆时针方向以原点为中心为半径的上半圆周例首页上页下页返回结束22解法2,BA它与L所围区域为D,CoyxABL0ddDxy22()d()dBAxyxyxy2daaxxD(利用格林公式)323a22()d()dLBAIxyxyxy则添加辅助线段首页上页下页返回结束23(1cos):sinxatLyatDyaLxo提示:sind(cos2)dxxLIeyxeyy2dLyx2dLyxBA0ddDxy200dax2202sindatt:0t2aLABAB222(sin2)d(cos2)d,(),0,.6xxLIeyyxeyyLxayay计算其中为上半圆周沿逆时针方向例首页上页下页返回结束24提示:BAzyxCo3dddAByxzyxz3dABxz103(1)dzz方法1利用对称性(,,),1,7.Fyzxxyzz求力沿有向闭曲线所作的功其中为平面被三个坐标面所截成三角形的整个边界从轴正向看去沿顺时例针方向首页上页下页返回结束25设三角形区域为,方向向上,则dSΣ:11(1,1,1)3xyzn1(3)d3S方法2nBAzyxCo32利用斯托克斯公式111333xyzyzx首页上页下页返回结束26zyxo且取下侧,提示:以半球底面0原式=3233R032R00ddddddxyzyzxzxy记半球域为,高斯公式有为辅助面,利用222dddddd,.8xyzyzxzxyzRxy计算其中为半球面例的上侧首页上页下页返回结束27证设(常向量)则coscoscoscoscoscosdS0cosddcosddcosddyzzxxycos()dn,aS0dnaS(cos,cos,cos)n,cos()d.90ann,aS设为简单闭曲面,为任意固定向量为的单位外法向量,证明:例首页上页下页返回结束28解取足够小的正数,作曲面取下侧使其包在内,为xoy平面上夹于之间的部分,且取下侧,1与21ozyx则2221:zxy22232222(2)(110)1(0),5169dddddd,.()zxyzxyzyzxzxyIxyz设是曲面取上侧计算例首页上页下页返回结束29331(2)I131ddddddxyzyzxzxy2第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得0dv232220dd()xyxy21ozyx首页上页下页返回结束30思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分的特例.2)设曲面问下列等式是否成立?不对!对坐标的曲面积分与曲面的侧有关首页上页返回结束