第十三章气体动理论习题解

第十三章气体动理论13-1真空设备内部的压强可达到1.013×10-10Pa，若系统温度为300K，在此压强下，气体分子数密度为多少？解：102310102.45300101.38101.013kTpnm-313-22.0×10-2kg氢气装在2.0×10-3m3的容器内，当容器内的压强为3.90×105Pa时，氢气分子的平均平动动能为多大？解:根据公式p=kn32,可得52222333333.90101.94102.0106.0210222.0102.010kpnJ13-3体积为1.0×10-3m3的容器中含有1.01×1023个氢气分子，如果其中压强为1.01×105Pa，求该氢气的温度和分子的方均根速率。解:由理想气体物态方程可得氢气温度为：T=p(nk)=pV(Nk)=72.5K氢气分子的方均根速率为：222H3R/9.5110mvTMs-113-4一容器内贮有氧气，其压强为1.01×105Pa，温度为27.0℃，求：（1）气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离（设分子间均匀等距排列）。解：（1）气体分子的数密度n=p/(kT)=2.441025m-3（2）氧气的密度=m/v=pM/RT=1.30kgm-3（3）氧气分子的平均平动动能k=3kT/2=6.2110-21J（4）氧气分子的平均距离d=31n=3.4510-9m（本题给出了通常状态下气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量。）13-5某些恒星的温度可达到1.0×108K，这也是发生核聚变反应（也称热核反应）所需要的温度，在此温度下的恒星可视为由质子组成。问：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率是多大？解：(1)质子的平均动能215/23/22.0710JkmvkT（2）质子的方均根速率为162sm101.583mkTv13-6质点在地球引力作用下所需的逃逸速率为2vgr，其中r为地球半径，（1）若使氢气分子和氧气分子的最概然速率与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少（取r=6.40×106m）。解：分子的最概然速率为mMRTv2p依题意有：T=RgrMm22对氢气：T=K101.518.312102106.409.82436对氧气：T=K102.418.3121032106.49.8253613-7图中I、Ⅱ两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线，试由图中数据求出：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）气体的温度。分析：由vp=m2RT/M可知，在相同温度下摩尔质量较大的气体。其最概然速率较小。由此可断定图中曲线所标vp=2.010-3ms-1对应于氢气分子的最概然速率，从而可求出该曲线所对应的温度，氧气的最概然速率即可求得。解：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率氢气分子的最概然速率为vp=3102.022HRT/Mms-1氧气分子最概然速率vp=m105.04v22HP22ORT/Ms-1（2）气体的温度由vp=m2RT/M可得气体温度T=v2pMm/2R=4.81102K2000V/(ms-1)f(v)0习题13-7图III13-8声波在理想气体中的传播的速率正比于气体分子的方均根速率，问声波通过氢气的速率与通过氧气的速率之比为多少？设这两种气体都为理想气体并具有相同的温度。解:声波速率u与气体分子的方均根速率成正比，而在温度一定的条件下，气体分子的方均根速率与m1/M成正比。设声速u=Am1/M，式中A为比例常量，则声波通过氧气与氢气的速率之比为2222HOOH41uMuM13-9在容积为2.0×10-3m3的容器中，有内能为6.75×102J的刚性双原子分子理想气体，（1）求气体的压强；（2）若容器中分子总数为5.4×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。解：（1）气体压强由E=mR2miTM和pV=mmRMT可得气体压强p=2E/（iV）=1.35105pa（2）气体分子的平均平动动能为35kEN7.5010-21J气体的温度T=p/nk=pV(Nk)=3.62102K13-10某气体系统速率分布规律为：)(0)(02FFvvvvdvAvNdN式中A为常量。（1）画出速率分布曲线；（2）用vF表出常量A；（3）求气体的最概然速率、平均速率和方均根速率。解：（1）速率分布曲线如图所示。（2）根据归一化条件应有133F2vAdvAvNdvdNFv00则A=3F3v（3）2vANdvdN的最大值所对应的速率为vF。则vp=vF而FF2vvAdvvAvv4344Fv0vvFN/dNO202FvFvAdvAvv25v2则vrms=Fv5313-11目前实验室获得的极限真空约为1.33×10-11Pa，这与距地球表面1.0×104km处的压强大致相等，试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程（设气体分子的有效直径d=3.0×10-8cm）。解:由理想气体物态方程p=nkT得分子数密度为n=p/kT=3.21109m-3分子的平均自由程为m107.8πd2/82pkT可见,在该压强分子间几乎不发生碰撞。13-12若氖气分子的有效直径为2.59×10-8cm，问在温度为300K，压强为1.33×102Pa时氖分子碰撞频率为多少？解：由分析可得氖分子的平均碰撞频率πMRTkTpπdvnπdZ82222=3.18106s-113-13如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的41时，分子的平均碰撞频率和平均自由程如何变化？解：由公式知pZ，当压强由p0降至p0/2时，平均碰撞频率变为220000/ZP/PZZ又因pλ1/，故当压强减半时，平均自由程变为00002/2λppλλ13-14CO2气体的范德瓦尔斯常量a=0.37Pam6mol-2，b=4.3×10-5m3mol-1，当0℃时其摩尔体积为6.0×10-4m3mol-1，试求其压强。如果将其当作理想气体处理，结果怎样？解：用范德瓦尔斯方程求解，其压强为p=a62P103.05mmVabVRT作为理想气体求解，则有a6P103.78RT/Vp'讨论：由计算可知，'pp,这正是因为在建立理想气体模型时，忽略了分子本身占有的体积及分子间的引力所致。13-15设一定质量的某种理想气体盛在半径为R的球形容器中，试根据分子动理论的观点推导出压强公式：p=31nm2v=32nkε。推导：为简单计，假设所有分子均沿径向运动，分子间无碰撞，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞。设第i个分子速率为vi，该分子与器壁碰撞一次施予器壁的冲量，根据质点的动量定理可知应为2mvi，方向垂直于器壁向外。平均说来，该分子每通过距离2R即与器壁碰撞一次，单位时间内该分子与器壁碰撞的次数为vi/2R,施予器壁的冲量大小为RmvmvRvΔIiii222单位时间内所有分子施予器壁的冲量大小为Ni1RmvI2i分子施予器壁的冲量均匀分布在器壁上，器壁面积为4R2，气体施予器壁的压强等于单位时间内气体分子施予单位面积器壁的冲量，则有241πRSΔIpNi1Rmv2i＝knvnmvπRNmvπRmNii32314422312313-16设系统有N个分子，试证明：无论分子速率分布规律如何，其方均根速率总不小于其平均速率。证明：设系统平均速率为v，第i个分子速率为vi，则总有vvi(0)2而2222222i1111(-)(-2)20NNiiiivvvvvvvvvvvvNN即有vv2表明方均根速率总不小于其平均速率，等号在所有分子速率均相等时成立。得证。13-17根据麦克斯韦速率分布律，求系统速率倒数的统计平均值1v。解：vvdeπkTmvdveπkTmdvf(v)vvkTmvkT2mv224)(21224π11222323000习题13-19图0v03v0VaN/f(v)13-18从麦克斯韦速率分布律出发，推导出分子按平动能21v2m的分布规律：εkTNdεdNεfekTε/)(23-)(π2)(并由此求出分子平动动能的最概然值。推导：dvveπkT2mπ4vvfNdNkT2mv2223)d(而221mvmvdvdε代入麦克斯韦速率分布律，整理可得εkTNdεdNεfekTε/)(23-)(π2)(此即分子按平动能的分布规律。根据极值条件，应有0)(dεεdf，可得：0211)(π2)(23-εεkTkTekTε/-使上式成立的动能即为最概然动能pε，易得：2kTεp显然，221ppmvε，这是由于此处所得pε来源于分子动能分布律，pε对应于单位动能间隔内f（ε）的极值点，vp对应于单位速率间隔内f（v）的极值点,动能分布函数的极值点所对应的速率与速率分布函数的极值点所对应的速率并不一致。13-19有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。（1）说明速率分布曲线与横坐标所包围面积的意义；（2）由N和vo求a值；（3）求分子的最概然速率；（4）求分子的平均平动动能。解：（1）速率分布曲线与横坐标所包围面积表示系统的总分子数。（2）根据速率分布曲线下面积的物理意义，知：013a2Nv则02a3Nv（3）分布曲线峰值点对应的速率即为最概然速率，故vp=v0（4）速率在0到v0间隔内的分子速率分布的直线方程为0af()vNvv而速率在v0到3v0间隔内的分子速率分布的直线方程为03aaf()22vNvv2032012132a23a2Na2N)(212100mvdvvvvmdvvvvmdvvfmvmvεvvvk0002022