第十三章非线性电路

262第十三章非线性电路本章提要介绍非线性电阻元件及特性，简单非线性电阻电路的图解分析法，小信号分析法，分段线性分析法及其它非线性元件。13.1非线性电阻及其特性在第一章中已给出了线性电阻的定义，线性电阻的端电压u与通过它的电流i成正比，即iRifu)(线性电阻的电压、电流关系受欧姆定律的约束，其特性曲线是在u–i平面上过坐标原点的一条直线。非线性电阻的电压、电流关系不满足欧姆定律，其特性方程遵循某种特定的非线性函数关系，即0),,(tiuf(13-1)非线性电阻的电路符号如图13.1所示。非线性电阻种类较多，就其电压、电流关系而言，有随时间变化的非线性时变电阻，也有不随时间变化的非线性定常电阻。本章只介绍非线性定常电阻元件，通常也称为非线性电阻。常见的非线性电阻一般又分为电流控制电阻、电压控制电阻和单调电阻等。电流控制电阻是一个二端元件，其端电压u是电流i的单值函数，即)(ifu(13-2)电压u是电流i的单值函数是指在每给定一个电流值时，可确定唯一的电压值，如图13.2+ui-图13.1非线性电阻图形符号iu0图13.3隧道二极管特性曲线)(ugi图13.2辉光二极管特性曲线iu0)(ifu263所示辉光二极管特性曲线，它是一个典型的电流控制的非线性电阻元件的特性。电压控制电阻元件是一个二端元件，其通过的电流i是电压u的单值函数，即)(ugi(13-3)电流是电压的单值函数，但电压可以是多值的，如图13.3所示隧道二极管的特性曲线，是一个典型的电压控制非线性电阻元件。单调电阻是一个二端元件，其端电压u是电流i的单值函数，电流也是电压的单值函数，即)(ifu和)(ugi(13-4)同时成立，并且f和g互为反函数，则u、i间函数关系又可以写为)()(11ufiigu和(13-5)这种非线性电阻既是电流控制的又是电压控制的，其特性曲线是单调增长或单调下降，如图13.4(a)所示的元件图形符号是电子技术中常用的二极管，它是一个典型的单调型电阻。图(b)为二极管的u–i特性曲线。如果电阻元件的u–i（或i–u）特性曲线对称与坐标原点，则称为双向型元件。线性电阻都是双向元件。大多数非线性电阻是非双向元件，二极管是一个实例。非线性电阻的端电压和电流的比值，没有固定的值，有时引入静态电阻和动态电阻的概念。非线性电阻在某一工作状态下的静态电阻R等于该点的电压u与电流i之比，即iuR(13-6)在图13.4中P点处的静态电阻R等于该点处横坐标与纵坐标值之比，即电压值与电流值之比，其值正比与直线OP的斜率，即tg。非线性电阻在某一工作状态下的动态电阻Rd等于该点的电压对电流的导数，即diduRd(13-7)在图13.4元件的特性曲线中P点处的动态电阻Rd正比与元件的特性曲线P处的斜率，为tg。对于单调电阻，它的特性曲线的斜率总是正值，所以不论在何处的动态电阻都是正(a)(b)图13.4二极管及其特性iu0αβp+iu-264值。但从图13.2或图13.3所示的两个非线性电阻的特性曲线来看，在有的区域内电流随着电压的增长反而下降，故在该区域内曲线某点的斜率为负值，因此该处的动态电阻是负值，称这种元件具有“负阻”性质。例13-1设一非线性电阻，其电流、电压关系为188)(24iiifu。⑴试分别求出A1i时的静态电阻R和动态电阻Rd；⑵求tcosi时的电压u：⑶设)(21iifu，试问u12是否等于(21uu)？解⑴A1i时的静态电阻R和动态电阻Rd为11188R17116321284831iididuRidΩ⑵当ticos时tttiiu4cos1cos8cos81882424上式中,电压的频率是电流频率的4倍，由此可见，利用非线性电阻可以产生与输入频率不同输出，这种特性的功用称为倍频作用。⑶当)ii(fu21时182)446(81881881)2(8)446(81)(8)(82132123122212242214122212142321231222141221421iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiu上式显然可知2112uuu即叠加定理不适用于非线性电路。13.2非线性电阻电路的图解分析KCL和KVL对非线性电阻电路依然成立，但必须指出，叠加定理并不适用于非线性电路。由于非线性电阻的阻值要随着其端电压或通过的电流变化而变化，因此，前面265学过的电源等效变换，戴维宁和诺顿定理，回路电流法，节点电压法等不能直接用于计算非线性电阻电路。非线性电阻的电压、电流关系往往难以用解析式表示，即使能用解析式表示也难以求解。一般非线性电阻的电压、电流关系常以曲线形式给出，所以用图解法较方便。在简单非线性电阻电路中，常遇到仅含一个非线性电阻的电路。如图13.5(a)所示电路中，在N外仅有一个非线性电阻。N中的电路总可以利用戴维宁定理将其用一个独立电压源与一线性电阻串联的组合支路替代，如图13.5(b)所示的ab左端电路，根据KVL其外特性方程为iRuueqoc假设Req为正值（在含受控源时可能为负值），该线性含源一端口N的外特性曲线如图13.5(c)所示是一条直线，直线交于u轴为开路电压uoc，直线交于i轴值是含源一端口的短路电流eqocRu。又因非线性电阻接于含源一端口处，所以u和i的关系也满足非线性电阻的特性)(ifu，也就是说一端口的特性曲线与非线性电阻的特性曲线的交点P(U0，I0)是要求的解。该点也称工作点。这种求解的方法称为曲线相交法。在电子技术中常用曲线相交法确定晶体管的工作点，把非线性电阻看成负载电阻，一端口的外特性曲线习惯称作负载线。如果电路中的非线性电阻元件不止一个，只要它们之间存在着串、并联的关系，也可以将它们用一等效电阻来代替，此等效电阻一般是非线性的，其伏性曲线可由曲线相加方法得到。两个非线性电阻元件串联电路，如图13.6(a)所示。它们的特性方程分别为u1=f1(i1)，u2=f2(i2)，其特性曲线如图(c)所示。因为两个元件是串联，故有i1=i2=i。又根据KVL，可得总电压)()()()(21221121ififififuuu，因此，在同一个i值下，将)(if和)(22if曲线上对应的电压值u1，u2相加，可得到此电路的电压u。取不同的i值可逐i负载线uUoc0U0P(U0，I0)I0u=f(i）egOCRU(a)(b)(c)图13.5含一个非线性电阻的电路分析Uoc+u-bRega+u-iR1R2uS1uS2Naib266点求出u、i特性曲线)(ifu，如图(c)所示。曲线)(ifu即是图13.6(a)中两个串联非线性电阻的等效电阻的u、i特性，可用一个等效的非线性电阻来表示如图(b)所示。两个非线性电阻并联电路，如图13.7(a)所示。这两个非线性电阻的特性方程分别为i1=g1(u1)，i2=g2(u2)，其特性曲线如图13.7(b)所示。根据基尔霍夫电压和电流定律，对图13.7(a)有)()()()(2122112121ufufufufiiiuuu于是在图(b)中，只要在同一电压u值下，将f1(u1)和f2(u2)曲线上对应的电流值i1和i2相加，可得到电流i。依次取不同的电压值u，可以逐点求得特性曲线i=f(u)，如图13.7(b)所示。图(c)所示非线性电阻是图(a)中两个非线性电阻并联后的等效非线性电阻，曲线i=f(u)也是该等效电阻的特性曲线。如果电路中含有若干个并联和串联的非线性电阻，可按上述作图法，依次求出等效的u-i特性曲线。如图13.8所示非线性电阻混联电路的情况，可以先画出两个并联非线性电阻等效电阻的特性曲线，然后再画出此等效非线性电阻与串联的非线性电阻的特性曲线，即可得(a)(b)(c)图13.7两个并联非线性电阻+u-i+++uu1u2---ii1i2uu0ii1i2i1+i2i1=g(u)i2=g(u)i=g(u)图13.8非线性电阻的混联(a)(b)+u-ii+u1-+u2-+u-图13.6非线性电阻串联(c))(22ifuui0u1u2u1+u2)(ifu)(11ifu267到此电路的特性曲线。读者可以试着绘制曲线。上述方法称为图解法，此方法对电流控制电阻和电压控制电阻的串并联都适用。13.3分段线性化方法分段线性化方法(也称折线法)是研究非线性电路的一种有效的方法。它的特点在于能把非线性特性曲线用一些分段的直线来近似地逼近，对于每个线段来说，又可应用线性电路的计算方法。非线性电阻的特性曲线，用分段线性化来描述。例如图13.9所示p-n结二极管的特性曲线，该曲线可以粗略地用两段直线来描述，如图中粗线A0B。这样，当这个二极管施加正向电压时，它相当于一个线性电阻，其电压、电流关系用直线0B表示；当电压反向时，二极管截止，电流为零，它相当于电阻值为∞的电阻，其电压、电流关系用直线A0表示。理想二极管的电压、电流关系可由负u轴和正i轴这样的两条直线线段组成。理想二极管的符号及其特性曲线如图(b)所示。理想二极管的特性是：若电压u0(正向偏置)时，则理想二极管工作在电阻为0的线性区域；若u0（反向偏置）时，则其工作在电阻为∞的线性区域。分析理想二极管电路的关键，在于确定理想二极管是正向偏置（导通），还是反向偏置（截止）。如果属于前一种情况，二极管以短路线替代，若属于后一种情况，则二极管以开路替代，替代后都可以得到一个线性电路，容易求得结果。电路中仅含一个理想二极管时，利用戴维宁定理分析计算十分方便，毋需使用图解方法。例13-2求如图13.10所示电路中理想二极管通过的电流。解在分析理想二极管电路时，首先确定二极管是否导通。当这个二极管接在复杂的电路中时，可以先把含二极管的支路断开，利用戴维宁定理求得电路其余部分的戴维宁等效电路后，再把含二极管的支路接上，然后在这个简单的电路中，确定二极管工作区域，且判断它是否导通。在图13.10(a)所示的电路中除去二极管支路以外，由电路的其余部分，可求得其等效电路的电压Uoc和电阻Req为（a）(b)图13.9P-n结二极管的VCR的分段线性表示uui0Ai0B+iu-+iu-268V4.14184.32181818121836ocUKΩ2712181218.Req该等效电路如图13.10(b)所示，由此可得，二极管两端的电压V4.2u，它处于截止状态，因此二极管不能导通，电流0i。在分段线性描述中，凹电阻元件和凸电阻元件是两个理想的分段线性模型。下面简单介绍。凹电阻元件（Concaveresistor）是一个分段电压控制电阻元件，其特性曲线如图13.11(a)所示，G表示图示线性区段的斜率，ub表示折点电压。凹电阻元件的特性方程为)]([21bbuuuuGi(13-8)由式(13-8)凹电阻特性方程和图13.11(a)特性曲线可知当uub时，i=0；当uub时，)(buuGi。凹电阻元件可由一个理想二极管与电压为ub的电压源和电导为G的电阻相互串联的电路来实现，如图13.11(b)所示，其电路符号如图13.11(c)所示。凸电阻元件(Convexresistor)是分段线性电流控制电阻元件，该元件可用线性区段的+u-DubR=1/GiGi0ubu(a)(b)(c)图13.11凹电阻元件的VCR、等效电路及电路符号(G，ub)+u-i12KΩ36V18KΩ6KΩ18V-u+i12V7.2KΩ1KΩ14.4V-u+i12V(a)(b)图13.10例13-2题图269斜率G和折点电流ib，两个参数来描述。其特性曲线如图13.12(a)所示。凸电阻元件的方程为])([21bbiiiiRu(13-9)由式(13-9)特性方程及图13.12(a)特性曲线可知：当iib时，u=0，当iib时，)(biiRu，凸电阻元件的等效电路如图13.12(b)所示,它可用