第十三讲二次型的标准化

第十二讲合同变换与二次型的标准化教学目的：1.介绍合同变换：另一种对角化途径，只用于对称阵；2.对“可逆的矩阵变换”做个小结。3.介绍二次型及其矩阵形式；4.介绍二次型标准化的概念：与合同变换的关系。教学内容：第六章：§6.4合同变换；第七章：§7.1二次型及其标准形；§7.2二次型的标准化；教案提纲：§6.4合同变换一、合同变换：1.概念：定义6.5（又一种特殊形式的初等变换）2.合同变换的性质：二、合同变换的实施：“对称初等变换”例6.8，p.140。三、合同标准形：1.规范形（合同标准形）；定义6.6；2.惯性指数：惯性定理（定理6.17）→定义6.7；正交变换：既是相似变换，也是合同变换，更是初等变换。小结：四个矩阵变换的比较：第七章二次型§7.1二次型及其标准形一、二次型：1.二次型的概念：（从一般的二元二次方程引入）定义7.1：两种写法：（7.1）式、（7.2）式，系数的对称性设定；2.二次型的矩阵形式：与实对称阵的一一对应，“二次型的秩”。（举例、练习：学会函数形式与矩阵形式的互化）。二、二次型的标准形：1.标准形（法式）的概念：由二次曲面的标准方程引入，定义7.2；与对角阵的对应；2.标准化：与合同变换的对应。AXXXf)(PYX，使YYAPYPYAXXA找可逆阵P,使APP为对角阵§7.2二次型的标准化一、正交变换法：理论上没有新内容，用示例讲清实施步骤：二次型AXXXf)(→A→求特征值→求正交的特征向量组（Schmidt正交化法或添方程法）→分别单位化→构成正交变换阵P→验证APPAPP1→得到标准形YYYf)(（是唯一确定的）。例：AXXxxxxxxxxxxf21212122212112214),(，313212212EA，特征值1213，，进而得特征向量111121pp、，它们已经互相正交，单位化后即得到正交阵111121P。可对它作两方面验证：一方面，300160022111112112211111211APPAPP；另一方面，将相应的变换PYX，即22112122211211yyxyyx代入原二次型，得221121221121222112122211214yyyyyyyyf21222221212122212121222yyyyyyyyyy21212221212222213001322yyyyyyyyyy；易见两者的一致性。作业：p.147：20（1、4）；p.151：56；p.168：1（3、4）、2（3、4）、备例