第十三讲视图与投影立体图形的展开与折叠

学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第1页共11页第十三讲视图与投影、立体图形的展开与折叠§13.1立体图形的展开与折叠1.几何体的展开与折叠是________（选填“平面”或“立体”）图形与几何体表面展开图之间相互转化的过程.2.同一个立体图形按不同的方式展开，可以得到________（选填“相同”或“不同”）的表面展开图，平面图形通过________（选填“展开”或“折叠”）可以得到相应的立体图形.3.常见几何体的表面展开图：（1）圆柱的侧面展开图是一个________，圆锥的侧面展开图是一个________；（2）正方体有________个面，其表面展开图共由________个正方形组成.考点呈现考点1立体图形的表面展开图例1如图1，是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC，BC，CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（）解析：沿正四面体的三条棱AC，BC，CD剪开后，侧面的三个三角形均与后面的面相连.故选B.点评：本题要充分发挥想象力，同时也可以动手操作加以验证，加深理解.例2下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）解析：一个正方体共有六个面，将选项中的平面图形一一验证，就能得出选D．点评：在立体图形的展开图中，应重点掌握正方体的展开图，不仅能将正方体展开为平面图形，而且能识别所给6个大小一样的正方形能否拼成正方体.考点2判断两个面是否为对面或相邻的面例3（2012年漳州市）如图2，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“祝”的对面是（）A．考B．试学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第2页共11页C．顺D．利解析：判断两个面是否为对面的依据是：展开图的对面之间不能有公共边或公共顶点.由图形可以判断“祝”字的对面为“顺”.故选C.点评：解决这类问题，可以通过动手折叠得出正确答案，也可以直接根据展开图进行分析，找出相对的三组面，进而得到问题的答案.例4如图3，是某一正方体的表面展开图，则该正方体是（）解析：由所给的表面展开图可知，与在立体图形中是相对的两个面，故A，B两个选项不对，由可知，选D.误区点拨1.混淆立体图形与平面图形例1下列说法：①文具盒是长方形；②文具盒是长方体；③文具盒的表面是长方形.其中正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③错解：D.剖析：出现错误的原因是对长方体和长方形理解不清，即混淆了立体图形与平面图形，要特别注意的是长方体的一个面是长方形，所以①不正确.正解：C.2.圆柱、圆锥的表面展开图忽略了它们的底面圆例2画出图4中圆柱和圆锥的表面展开图.错解：如图5.剖析：受圆柱、圆锥侧面展开图的影响，在画它们的表面展开图时，忽略了底面圆而画成侧面展开图.要注意圆柱是由三个面组成的，即两个平面（圆底面）和一个曲面（侧面）；圆锥是由两个面组成的，即一个平面（圆底面）和一个曲面（侧面）.正解：如图6.学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第3页共11页技法指导1.熟练掌握常见立体图形的特征，加强空间想象能力的培养.2.熟记常见立体图形的展开图，如圆柱、圆锥、正方体等，重点掌握正方体的表面展开图，这也是中考的重点.跟踪训练1.下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是（）2.（2012年宁德市）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（）3.（2012年南昌市）一个正方体有_______个面．4.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体中和“着”学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第4页共11页相对的面上的汉字是_______.5.（2012年杭州市）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为_______cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为____cm．§13.2常见几何体的三视图知识梳理1．几何体的三视图是指________、________、________.2．主视图反映物体的长和________；俯视图反映物体的长和_______；左视图反映物体的______．因此，在画三视图时，主、俯视图要________对正，主、左视图要________平齐，俯、左视图要_______相等．3．画三视图时，看得见部分的轮廓线通常画成________，看不见部分的轮廓线通常画成________．考点呈现考点1由小立方块组成的几何体的三视图例1（2012年广东省）如图1所示几何体的主视图是（）解析：从正面看到的图形叫做主视图.从正面看，此图形的主视图由3列组成，从左到右小正方形的个数依次是1，3，1.故选B.点评：解决此类问题，首先约定前后称为行，左右称为列，上下称为层，综合判断得出答案.考点2简单几何体的三视图例2（2012年安徽省）下面的几何体中，主视图为三角形的是（）解析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形.因此，根据这几个常见几何体的三视图，可知圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是两个相连的矩形.故选C.点评：应熟记一些常见几何体（如圆柱、圆锥、球、三棱柱、三棱锥等）的三视图，解题时可以直接应用.考点3组合体的三视图学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第5页共11页例3如图2，这个几何体的主视图是（）解析：这个几何体由圆柱和圆锥组合而成，它们的主视图分别为长方形和三角形，且看得见的部分画成实线，故选A.点评：本题考查简单组合体的三视图，可拆成两个分别研究，要注意看得见的轮廓用实线，看不见的轮廓用虚线，要防止出现选C的错误.考点4旋转体的三视图例4如图3，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°．将直角梯形ABCD绕直线AD旋转一周，所得几何体的俯视图是（）解析：由图3旋转所得的几何体是圆台，其上小下大，所以俯视图为D.点评：要注意上小下大，即上、下底在俯视图中都是看得见的，所以都应画成实线.考点5已知俯视图及小方块个数画其余视图例5图4是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（）解析：根据图4，可得如图5的实物，由实物知，其主视图应是两列，左列有两层，右列有三层，故选A.点评：本题已知俯视图及其在每个位置上的小方块数目，由此可以确定实物图，然后再根据实物图确定它的主视图.这体现了视图与实物之间的相互转化.技法指导1.画物体的三视图时，应注意“主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等”．意思是说，主视图和俯视图的长与几何体的长相等，主视图和左视图的高与几何体的高相等，俯视图和左视图的宽与几何体的宽相等.2．画组合体的三视图时，其中看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．误区点拨1.视图的画法有误学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第6页共11页例1画出如图6所示正四棱锥的三视图.错解：三视图如图7所示.剖析：画立体图形的三视图时，无论哪种视图都要求视线正对物体，因此，两侧的平面在视图上变成线，所以主视图和左视图错了；对能看见的轮廓线要画成实线，所以俯视图也错了.正解：三视图如图8所示.2.虚线与实线没有分清例2如图9是一个空心几何体，请画出它的主视图.错解：主视图如图10所示.剖析：画组合体的三视图时，其中看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线.正解：主视图如图11所示.3．画图比例不准确例3根据所学视图的相关知识，画出图12中正六棱柱的三视图.错解：三视图如图13所示.剖析：画视图要注意长对正，高平齐，宽相等.从图13看，俯视图的尺寸比例画错了，它的长应与主视图一样，而高应等于左视图的长，但图中的俯视图明显不符.正解：三视图如图14.跟踪训练1.如图所示几何体的主视图是（）学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第7页共11页2.在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（）3．如图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是图形中的________（把你认为正确的序号都填上）.4.如图所示是一个圆锥的主视图，则该圆锥的侧面积是______．5.画出如图所示实物的三视图.§13.3投影知识梳理1．太阳光线可以看成________光线（填“相交”或“平行”），像这样的光线所形成的投影称为________．2．物体在太阳光照射的不同时刻，不仅影子的长短在变化，而且影子的________也在改变．根据不同时刻影长的变换规律，以及太阳东升西落的自然规律，可以判断时间的先后顺序．3．判断平行投影的方法：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线________，则为平行投影.4.灯光的光线可以看成是从一点（即点光源）发出的，像这样的光线所形成的投影称为________．5．中心投影点光源的确定：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作直线，这两条直线的________即为光源的位置．学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第8页共11页6.判断中心投影的方法：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作直线，若两直线________，则为中心投影．考点呈现考点1投影作图例1如图1，已知树及其影子，画出在阳光下同一时刻旗杆的影子．解析：在阳光下的投影是平行投影，即光线是平行的，由树高及影长可确定光线的方向，由此即可画出旗杆在同一时刻的影子．如图2，连接AB，过点C作CD∥AB，则图中ED即为旗杆在同一时刻的影子.点评：解答此类问题要注意转化，即由影子可确定光线，由光线再确定影子.考点2与投影有关的计算例2如图3，教室窗户的高度AF为2.5米，遮阳蓬外端点D到窗户上缘的距离为AD，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，PE的长为3米，试求AD的长度（结果保留根号）．分析：过E作EG∥AC，构造直角三角形.在Rt△GEP中可以求出EG=1，在Rt△ABD中可以求出AD的长.解：如图3，过点E作EG∥AC交PD于G点，则四边形BFEG为平行四边形.由题意，得∠ＢPＣ=∠D=30°.因为EG=EP·tan30°=333=1，所以BF=EG=1，则AB=AF-BF=2.5-1=1.5.在Rt△ABD中，AD=30tanAD=323（米）.所以AD的长为323米.点评：解决此类问题的关键是构造直角三角形或者相似三角形，再利用有关的知识来解.例3如图4，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米.已知王华的身高是1.5米，那么路灯A到地面的距离AB等于（）A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米解析：由题意，知GC⊥BC，AB⊥BC，所以GC∥AB．所以△GCD∽△ABD.所以ABGCDBDC.设BC=x，则ABx5.111．同理，得ABx5.152．所以5211xx.所以x=3.所以AB=6．故选B.学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第9页共11页点评：（1）在解决与投影相关的计算时，常常要用到相似三角形和解直角三角形的知识，要注意知识的融会贯通;（2）在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中间比，它是解题的桥梁，如该题中AB5.1．技法指导1．平行投影的光线是平行的，中心投影的光线是相交的.2．掌握平行投影和中心投影的判定方法.误区点拨1.未能正确区分平行投影与中心投影例1如图5，请根据两棵树的影子画出小明在同一时刻的影子.错解：如图6，先根据一棵树的影子作出一条光线，再从小明的头顶作一条与之平行的光线，则图中线段AB就是小明的影子.剖析：本题应首先判断两棵树的影子是太阳光下形成的，还是灯光下形成的.而判断的方法是看它们的光线是否相交，如果相交，则为灯光下形成的；如果平行，则为太阳光下形成的.如图7，其实由两棵树的影子作出它们的光线，结果两光线是相交的，所以它们的影子是灯光下形成的，交点即为光源，