第十九章__勾股定理

第十九章勾股定理单元要点分析教材内容本单元教学的主要内容：本单元教学的主要内容是探索直角三角形的三边之间的关系，并运用所得结论解决问题，而且能根据三角形三边的长，判断这个三角形是不是直角三角形．本单元知识结构图：本单元教材分析：在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系，其逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法．教材通过2500年前，毕达哥拉斯的发现来引入直角三角形三边关系，以及通过“赵爽弦图”来引进勾股定理：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方”，这个定理教材利用拼图的方法论证勾股定理存在的合理性．教材介绍了古埃及人做直角的方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．体现了如果围成的三角形的三边分别为3，4，5，有下面的关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形．从而推出“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2时，那么这个三角形是直角三角形”这个勾股定理的逆定理．在应用勾股定理时，应强调直角的前提并分清斜边和直角边．注意a、b、c可以取满足于等式的适当数（整数、分数、小数等）．教学目标（三维目标）知识与技能：具体的情境，理解和掌握勾股定理和逆定理以及应用．过程与方法：经历探索勾股定理的过程，理解勾股定理的意义以及内涵，掌握其应用方法．情感态度与价值观：以我国古代在勾股定理的研究方面所取得辉煌成就，激发学生的爱国热情，体会勾股定理的应用价值．教学重点本单元教学重点是理解和掌握勾股定理及其逆定理，以及应用．教学难点本单元教学难点是理解勾股定理的推导．教学关键本单元教学关键是通过古今中外的科学家的探究思想，引入勾股定理和逆定理．单元课时划分19．1勾股定理3课时19．2勾股定理的逆定理3课时复习与交流1课时教学活动设计第一课时勾股定理（一）一、教学内容与背景材料本节课主要内容是探索、验证勾股定理．二、教材分析：勾股定理是平面几何中一个重要定理，它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，是解直角三角形的重要工具。它在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用。由于勾股定理能把形与数密切联系起来，是数与形结合的典范，而学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，从而为后续学习解直角三角形打下基础。三、教学目标：★知识与能力目标：经历探索发现并验证勾股定理的过程，进一步发展学生的推理力；★过程与方法目标：1．让学生经历“探索—发现—猜想—验证—应用”的学习过程，并体会“特殊—一般—特殊”的数学思想方法；2．通过一系列数学学习活动让学生体验学习过程中的乐趣．★情感与态度目标：1．通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情.2.在探究的过程中，体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.★教学重点：探索发现并验证勾股定理．★教学难点：通过拼图验证勾股定理；四、教法和学法分析（一）学情分析我校八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力．他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法（包括割补、拼接），但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够.另外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流的能力还有待加强．（二）教法分析教学方法：引导—探究—讨论发现法。为了让学生在学习过程中自我归纳发现勾股定理，本节课从探究等腰直角三角形入手，再自然过渡到探究一般直角三角形，引导学生通过观察图形、计算面积、分析数据，发现直角三角形三边上的正方形的面积关系，进而得到勾股定理．然后再引导学生通过小组合作、讨论交流来验证勾股定理.为了让学生在学习过程中自我归纳发现勾股定理，本节课从探究等腰直角三角形入手，再自然过渡到探究一般直角三角形，引导学生通过观察图形、计算面积、分析数据，发现直角三角形三边上的正方形的面积关系，进而得到勾股定理．然后再引导学生通过小组合作、讨论交流来验证勾股定理.（三）学法分析学习方法：自主探究与合作交流相结合。根据前述学情分析，结合本课教学内容，这节课采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行学习.1、导标人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与他们取得联系。那么怎样才能与“外星人”沟通呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。2、展标（1）知识与能力目标：经历探索发现并验证勾股定理的过程，进一步发展学生的推理能力；（2）过程与方法目标：让学生经历“探索—发现—猜想—验证—应用”的学习过程，并体会“特殊—一般—特殊”的数学思想方法；(3)情感与态度目标：通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情.在探究的过程中，体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.3、达标活动1、观察特例→发现新知相传在2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯去朋友家做客,发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性，现在请同学们也来观察一下,你有什么发现呢?（结合预习从这两方面回答）1、正方形A、B、C的面积有什么关系？2、直角三角形三边有什么关系？地面图18.1-1探究1：等腰直角三角形三边关系（！）求出三个正方形的面积，思考怎样求正方形C的面积？（2）观察表中数据你能找正方形A、B、C面积之间的关系吗？（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?活动2、深入探究→交流归纳（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？ABC图1如图每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是2、3的直角三角形.仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形.（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？（3）正方形A、B、C面积之间的关系是什么？（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？活动3拼图验证→加深理解猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（多媒体动画演示验证）1、让学生利用学具进行拼图（1）准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）（2）你能用这四个直角三角形方形？（3）你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正拼成一个正方形吗？拼一拼试试看．（4）你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2吗？2、多媒体课件展示拼图过程及证明过程，理解数学的严密性。活动4：欣赏弦图拼法，了解勾股历史多媒体展示：1、赵爽弦图的分割、拼接过程。2、数学史话，勾股定理的发现，古代我国数学的伟大成就…活动5：应用新知，解决问题。活动6：回顾小结→整体感知过程小结，知识小结.活动7：布置作业→巩固加深1.必做题：课本第77页，习题18.1第1,7题.2.选做题：课本第79页“阅读与思考”了解勾股定理的多种证法.（根据自己的情况选择完成）3．预习：勾股定理的应用。第二课时勾股定理（二）教学内容与背景材料本节课继续探究勾股定理的应用。教学目标知识与技能：掌握勾股定理在实际问题中的应用．过程与方法：经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法．情感态度与价值观：培养良好的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值．重难点、关键重点：掌握勾股定理的实际应用．难点：理解勾股定理的应用方法．关键：把握Rt△中的三边关系，充分应用两直角边的平方等于斜边的平方，要注意直角边和斜边的区分．教学准备教师准备：制作投影片，收集并制作补充问题的投影片．学生准备：复习勾股定理．学法解析1．认知起点：在前面已经学习了一些几何知识，以及勾股定理的基础上，对勾股定理的应用加以理解．2．知识线索：实际问题勾股定理3．学习方式：采用讲练结合的学习方式，注重合作交流．教学过程一、复习提问勾股定理内容，符号语言表示？二、简单应用（1）求出下列直角三角形中未知的边．610ACB8A15CB30°2回答：①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形哪条边最长？三、联系实际，应用所学问题探究1：（2）一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？思路点拨：从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无法从门框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线AC或BD是斜着能通过的最大长度．只要测出AC或BD，与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．【活动方略】教师活动：拿出教具：如图18．1-4的木框，几块木板，演示引导学生思考．学生活动：观察、讨论，得到必须应用勾股定理求出木框的斜边AC2=AB2+BC2=12+22=5，AC=5≈2.236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能否通过木框，结论是可以！问题探究2：如图18．1-5，一个3cm长的梯子，AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？思路点拨：从BD=OD-OB可以看出，必需先求OB，OD，因此，可以通过勾股定理在Rt△AOB，Rt△COD中求出OB和OD，最后将BD求出．【活动方略】教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观察、应用勾股定理，提问个别学生．学生活动：观察、交流，从中寻找出Rt△AOB，Rt△COD，以此为基础应用勾股定理求得OB和OD．【课堂演练】演练题：在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为pcm，斜边长为qcm，求这个三角形的面积．思路点拨：因为Rt△的面积等于12ab，所以只要求出ab即可，由条件知a+b=p，c=q，联想勾股定理a2+b2=c2，将几何问题转化为代数问题．由a+b=p，a2+b2=q2求出ab．教师活动：操作投影仪，组织学生演练，以练促思；引导学生进行等式变形．学生活动：先独立思考，完成演练题1，再争取上台演示．解：∵a+b=p，c=q，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2，a2+b2=q2（勾股定理）∴2ab=p2-q2∴SRt△ABC=12ab=14（p2-q2）cm2【设计意图】以两个探究为素材，帮助学生应用勾股定理，再通过设置的演练题来灵活学生的思维．四、随堂练习，巩固深化1．课本P76“练习”1，2．2．【探研时空】（1）若已知△ABC的两边分别为3和4，你能求出第三边吗？为什么？（2）如图，已知：在△ABC，∠A=90°，D、E分别在AB、AC上，你能探究出CD2+BE2=BC2+DE2吗？（提示：BE2+CD2=AD2+AC2+AB2+AE2=（AD2+AE2）+（AC2+AB2）=（DE2+BC2）五、课堂总结，发展潜能1．勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．2．勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．六、布置作业，专题突破1．课本P77习题18．11，2，3，4，5．2．选用课时作业优化设计第三课时勾股定理（三）教学内容与背景材料本节课继续探究勾股定理及其应用知识与技能：掌握勾股定理在实际问题中的应用．过程与方法：经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法．情感态度与价值观：培养良好的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值．重难点、关键重点：掌握勾股定理的实际应用．难点：理解勾股定理的应用方法．关键：把握Rt△中的三边关系，充分应用两直角边的平方等于斜边的平方，要注意直角边和斜边的区分．教学准备教师准备：制作投影片，收集并制作补充问题的投影片．学生准备：复习勾股定理．学法解析1．认知起点：在前面已经学习了一些几何知识，以及勾股定理的基础上，对勾股定理的应用加以理解．2．知识线索：实际问题勾股定理