第十九章含参数的积分

第十九章含参变量的积分1含参变量的正常积分1．求下列极限：(1)12210limaxadx；(2)2200limcosaxaxdx；(3)1220lim1aaadxxa.2．求'()Fx，其中：(1)22()xxyxFxedy；(2)2cos1sin()xxyxFxedy；(3)sin()()bxaxxyFxdyy；(4)220(,)xxtftsdsdt.3．设()fx为连续函数，2001()()xxFxfxddh，求''()Fx.4．研究函数1220()()yfxFydxxy的连续性，其中()fx是[0，1]上连续且为正的函数.5．应用积分号下求导法求下列积分：(1)2220ln(sin)(1)axdxa;(2)20ln(12cos)(||1)axadxa；(3)222220ln(sincos)(,0)axbxdxab；(4)20arctan(tan)(||1)tanaxdxax.6．应用积分交换次序求下列积分：(1)10(0,0)lnbaxxdxabx；(2)101sinln(0,0)lnbaxxdxabxx.7．设f为可微函数，试求下列函数的二阶导数：(1)0()()()xFxxyfydy；(2)()()||()baFxfyxydyab；8．证明：222211112222220000()()xyxydxdydydxxyxy.9．设1220()lnFyxydx，问是否成立1'2200(0)ln|yFxydxy.10．设2cos0()cos(sin)xFxexd求证()2Fx.11．设()fx为两次可微函数，()x为可微函数，证明函数11(,)[()()]()22xatxatuxtfxatfxatzdza满足弦振动方程22222uuatx及初始条件(,0)(),(,0)()tuxfxuxx.2含参变量的广义积分1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛：(1)220cos()(0)xydyxaxy；(2)20cos()()1xydyxy；(3)1()xyyedyaxb；(4)1cos(0,0)xypyedypxy；(5)20sin(0)1pxdxpx.2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1)20(0)xedx；(2)0xyxedy，（i）[,](0)xaba，（ii）[0,]xb；(3)2()xedx，（i）ab，（ii）；(4)22(1)0sin(0)xyexdyx.3．设()ft在0t连续，0()tftdt当,ab皆收敛，且ab。求证：0()tftdt关于在[,]ab一致收敛.4．讨论下列函数在指定区间上的连续性：(1)220()xFxdyxy，(,)x；(2)20()1xyFxdyy，3x；(3)20sin()()xxyFxdyyy，(0,2)x.5．若(,)fxy在[,][,)abc上连续，含参变量广义积分()(,)cIxfxydy在[,)ab收敛，在xb时发散，证明()Ix在[,)ab不一致收敛.6．含参变量的广义积分()(,)cIxfxydy在[,]ab一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列{}nA（其中1Ac），函数项级数111(,)()nnAnAnnfxydyux在[,]ab上一致收敛.7．用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)cIxfxydy在[,]ab的积分交换次序定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.8．利用微分交换次序计算下列积分：(1)210()()nndxIaxa（n为正整数，0a）；(2)0sinaxbxeemxdxx（0,0ab）；(3)20sinxxebxdx(0).9．用对参数的积分法计算下列积分：(1)220axbxeedxx（0,0ab）；(2)0sinaxbxeemxdxx（0,0ab）.10．利用2(1)2011yxedyx计算拉普拉斯积分20cos1xLdxx和120sin1xxLdxx.11．利用2012(0)xyedyxx计算傅伦涅尔积分2001sinsin2xFxdxdxx和21001coscos2xFxdxdxx.12．利用已知积分0sin2xdxx，202xedx计算下列积分：(1)420sinxdxx；(2)02sincosyyxdyy；(3)220xxedx(0)a；(4)2()0axbxcedx(0)a；(5)222()axxedx(0)a.13．求下列积分：(1)01costetdtt；(2)220ln(1)1xdxx.14．证明：(1)10ln()xydy在1[,]bb(1)b上一致收敛；(2)10ydxx在(,]b(1)b上一致收敛.3欧拉积分1．利用欧拉积分计算下列积分：(1)11041dxx；(2)120xxdx；(3)130(1)xxdx;(4)2220)axaxdx(0)a；(5)6420sincosxxdx；(6)401dxx；(7)220nxxedx（n为正整数）；(8)03cosdxx；(9)220sinnxdx（n为正整数）；(10)1101lnnmxdxx(n为正整数).2．将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域：(1)102mnxdxx；(2)101nmdxx；(3)20tannxdx；(4)101lnpdxx；(5)0lnpxxexdx(0).3．证明：(1)11()nxedxnn(0)n；(2)lim1nxnedx.4．证明：1110(,)(1)babxxBabdxx；10()sxsxedx(0)s.