第十二章-量子物理学

第十二章量子物理学172第十二章量子物理学§12.1实物粒子的波粒二象性一、德布罗意物质波假设hEhPhEPh二、德布罗意物质波假设的实验证明1、戴维森——革未实验2、电子单缝实验例1、运动速度等于300K时均方根速率的氢原子的德布罗意波长是1.45A0。质量M=1Kg，以速率v=1cm/s运动的小球的德布罗意波长是6.63×10-14A0。（h=6.63×10-34J.s、K=1.38×10-23J.K、mH=1.67×10-27kg）解：（1）mkTv32045.13AkTmhmvhph（2）0191063.6AMvhph例2、若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康谱顿波长的几倍？解：电子的康谱顿波长为cmhec，罗意波长为ph由题知：cvcmcmEk232)1(2020cmhvmhphee232，故31c三、德布罗意物质波假设的意义四、电子显微镜例子、若α粒子（电量为２ｅ）在磁感应强度为Ｂ均匀磁场中沿半径为Ｒ的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是:[A]（A）ｈ／（２ｅＲＢ）．（B）ｈ／（ｅＲＢ）．第十二章量子物理学173（C）１／（２ｅＲＢｈ）．（D）１／（ｅＲＢｈ）．例2、如图所示，一束动量为ｐ的电子，通过缝宽为ａ的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度ｄ等于:[D]（A）２ａ2／Ｒ．]（B）２ｈａ／ｐ．（C）２ｈａ／（Ｒｐ）．（D）２Ｒｈ／（ａｐ）．第十二章量子物理学174§12.2测不准关系五、坐标动量测不准关系x方向坐标的测不准量为Δx电子在x方向动量测不准量为sinPPx而xkxsinsin故hPPxxPPhxPPxxhPxx，或xPx，精确式为21xPx表示在x方向，粒子的坐标和动量不能同时确定。测不准关系不仅适用于电子和光子。也适用于其它粒子，其起因于微观粒子的波粒二象性。例：同时确定能量为1KeV的电子的位置和动量时,若位置的不准定量值在100Pm内,则动量的不确定值的百分比ΔP/P为何值?(电子的质量me=9.11×10-31Kg。)解：1231071.12smkgmEPk由hPxx得%39xPhPPxhP例：光子的波长λ=3000A0。确定此波长的精度Δλ/λ=10-6。求光子位置的不确定量。解：|||2hPhPmmPxPxx48222六、能量时间测不准关系第十二章量子物理学175htEtE2tE例：若一电子处于某一能态时间为10-8s，则该原子处于此能态的的能量最小值为多少？若电子从该能态跃迁至基态，求所得谱线的波长宽度。解：（1）)(1014.47eVthE（2）由03670AEhchchE由)(1013.7052AEEhcEhc中子的质量为1.6710-27kg。假定一个中子沿x方向以2000ｍ.s-1的速度运动,速度的测量误差为0.01,则中子位置的不确定量最小为(用不确定关系xpx≥计算)[D](A)3.1610-17ｍ(B)3.1610-13ｍ(C)3.1610-10ｍ(4D3.1610-7ｍ不确定关系指的是：[C](A)任何物理量都不确定(B)任何物理量之间都不能同时确定(C)某些物理量能不能同时确定,这取决于这些物理量之间的关系(D)只有动量与位置、时间与能量之间不能同时确定h/2π有以下几种理解:（1）粒子动量不可能确定．（2）粒子的坐标不可能确定．（3）粒子动量和坐标不可能同时确定．（4）不确定关系不仅适用于电子和光子，以适用于其它粒子.其中正确的是：(A)(1),(2)(B)(2),(4)(C)(3),(4)(D)(4),(1)第十二章量子物理学176§12.3波函数定谔方程经典力学：粒子的运动由坐标和动量描述。状态随时间的变化由牛顿定律确定。量子力学：微观粒子的运动状态用波函数描述。状态随时间的变化用定谔方程描述。七、波函数1、量子力学基本假设之一微观粒子的运动状态（量子态）用波函数ψ（r，t）数描述。例、求自由粒子波函数。解：自由粒的能量和动量hPhE,，不随时间变化。（1）若粒子沿x方向运动沿x方向以ν、λ传播的波的波动方程为：)(2cos),(0xttx，用复数形式表示为：)(0)(20)(20),(PxEtiPxEthixtieeetx（2）若粒子沿r方向运动，则)(0),(rPEtietr2、波函数的物理意义——统计解释),(),(*trtr表示粒子在t时刻在（x，y，z）处出现的几率密度。),(),(*trtr粒子在体积元dV=dxdydz内出现的几率为dxdydztrtrdW),(),(*例、粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：axaxnaxn0),sin(2)(若粒子处在n=1的状态，求（1）粒子在x=a/4处出现的几率密度、（2）在区间[0，a/4]内找到粒子的几率是多少？（3）在何处找到粒子的几率最大，为何值？解：（1）aaxaaxaxax/1sin2)sin(2)(4/2*第十二章量子物理学177（2）091.0sin24/02adxaxaW（3）axa2*sin2，当2)12(kax时ρ最大=2/a此时，,3,2,1,0,2)12(kakx而0xa，故x=a/2。3、波函数的归一化条件1||2dxdydz相差一个常数因子的波函数ψ与cψ描述同一微观态。思考：将波函数在空间的振幅增大D倍，则粒子在空间的几率密度增加几倍？答案：不变。4、波函数的标准条件波函数),(tr是空间和时间的单值、有限、连续函数。5、物质波波函数与经典波函数的区别德布罗意波是几率波，波函数不表示某实在的物理在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。八、定谔方程量子力学基本假设之二：波函数随时间的变化满足定谔方程。1、含时定谔方程若粒在势场),(trVV中运动，则：Hti其中：),(tr。),(222trVmH，称为哈密顿算符。2222222zyx叫拉普拉斯算符。2、定态定谔方程对于定态（能量不随时间变化的状态）)(rVV。EH第十二章量子物理学178其中：)(r，称为定态波函数。E称能量本征值，即定态能级。例1、已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：)(),23cos()(axaaxax那么粒子在ｘ＝5a／6处出现的几率密度为:[A]（A）１／(2a)．（B）１／a．（C）１／(2a)1/2（D）１／a1/2例2、波函数(r、t)的物理意义可表述为：[D](A)(r、t)为t(B)(r、t)为t(C)(r、t)无直接意义,(r、t)2意为t时刻粒子出现在r处的概率(D)(r、t)2为t时刻粒子出现在r处的概率密度设粒子运动的波函数图线分别如图（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？（A）第十二章量子物理学179§12.4势阱和势垒中的粒子一、一维无限深势阱1、势函数设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，其势函数为：00≤x≤aU=∞x0，xa2、方程的求解当x0时：0)(x当0≤x≤a时：0)(2)(222xEmdxxd当x0时：0)(x令222mEk，则0)()(222xkdxxd，它的通解为：)sin()(kxAx由波函数的标准条件得：在x=0处：00sinA在x=a处：),2,1(,0)sin(nnkakaA由波函数的归一化条件得：aAaAdxxSinAxdxAa212sin12022223、求解结果在一维无限深势阱中运动的粒子的波函数为：),0.(0)(axxx)0(,sin2)(axaxnax由222mEk及),2,1(,nnka得，在一维无限深势阱中运动的粒子的能量为：第十二章量子物理学180),2,1(,8222nmahnEn可见，能量是量子化的，它是定谔方程求解的自然结果。4、一维无限深势阱的驻波法求解困粒子被束缚在0≤x≤a内运动，其德布罗意波在该区间内形成稳定驻波（x=0，x=a处为波节）。根据驻波条件，其德布罗意波长λ应满足：,2,1,2nna由德布罗意关系，粒子的动量P=h/λ，故P=nh/2a。在势阱内，U=0，粒子的能量E=P2/2m，从而：222282mahnmPEnx=0处是波节点，驻波方程为：kxAxsin)(x=a处也是波节点，且A≠0，故),2,1(,nnka，因而驻波波函数为：)0(,sin2)(axaxnax两种处理方法的一致，说明微观世界的定态对应德布罗意驻波。二、隧道效应设粒子在一维方势垒中运动，其势函数为：U00≤x≤aU（x）=0x0，xa按经典理论，对于EU0的粒子，在Ⅰ区域内，粒子将会在x=0处反射，不能进入区域Ⅱ和Ⅲ。但按量子理论，从区域Ⅰ入射的波，部分地被势垒反射，而部分能穿过势垒进入Ⅲ区域。隧道效应：一个粒子能穿移按经典观点看来是绝对不透明的势垒，这种现象称为隧道效应。第十二章量子物理学181§12.5氢原子一、氢原子光谱的实验规律1、氢原子的线状光谱光谱学家在大量氢原子光谱数据的基础上，得到一些光谱线的经验公式：紫外线：4,3,2),111(122nnRH赖曼系可见光：5,4,3),121(122nnRH巴耳未系6,5,4),131(122nnRH帕邢系红外线7,6,5),141(122nnRH布拉开系8,7,6),151(122nnRH普丰特系其中：1称为波数，1710096776.1mRH是氢原子的里德堡常数。统写为：)11(122nkRH2、里兹并合原则在氢原子光谱实验规律的基础上，里德堡和里兹分别于1900年和平共处1918年发现其它很多元素的光谱都存在一种普适关系。里兹并合原则：原子的各谱项可表示为两光谱项之差)()(1nTkTk，n为正整数。K一定，对应着一个谱系，n一定，对应着谱系中的一条谱线。极限波长：某谱线的最短波长（n→∞）二、原子核型结构1、原子模型原子中的全部正电荷和几乎全部质量集中在远小于原子体积的核中（称为原子核），原子中的电子在核周围绕核运动。2、经典电磁理论在原子结构问题上的困难（1）原子系统的稳定性绕核运动运动的电子作加速运动，从而向外辐射电磁波，其频率第十二章量子物理学182为电子绕核运动的频率。原子向外辐射电磁波，能量不断减少，轨道半径将沿螺线运动接近原子核，从而无稳定的原子存在。（2）原子光谱是线状光谱电子绕核运动的频率是连续变化的，所辐射的能量应该是连续变化的，从而得到连续光谱。三、玻尔理论1、玻尔理论的三条基本假设（1）定态假设定态：原子中存在的一系列能量不连续的状态。能级：原子在定态相应的不连续的能量值，记为En。E1，E2，E3，……。运动特征：处在定态中的电子在相应的轨道上绕核作圆周运动，但不辐射能量。（2）量子化条件假设电子绕核作圆周运动的角动量L，只能是h/2π的整数倍。3,2,1,2nhnL（3）频率条件假设电子从一定态Ek跃迁到另一定态En时，将发射（吸收）频率为的电磁波（光子），电子的能量为：knknEEhEk和En分别表示初未定态的能量。EkEn：表示原子吸收光子。EkEn：表示原子发射光子。2、氢原子