第十二章_导数及其应用(改)

2012高中数学复习讲义第十二章导数及其应用第1课导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;1．一物体做直线运动的方程为21stt，s的单位是,mt的单位是s，该物体在3秒末的瞬时速度是5/ms。5．在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是3。3．已知),(,cos1sinxxxy,则当2'y时,x32。4．已知axxaxf)(,则)1('f2lnaaa。5．已知两曲线axxy3和cbxxy2都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。例2．如果曲线103xxy的某一切线与直线34xy平行，求切点坐标与切线方程．分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()yfx在给定点00(,())Pxfx处的切线的斜率0()kfx，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。解：切线与直线34xy平行，斜率为4又切线在点0x的斜率为00320(10)31xxxxyxxx∵41320x∴10x∴8100yx或12100yx∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为)1(48xy或)1(412xy即124xy或84xy点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。变题：求曲线32yxx的过点(1,1)A的切线方程。答案：20,5410xyxy点评：本题中“过点(1,1)A的切线”与“在点(1,1)A的切线”的含义是不同的，后者是以A为切点，只有一条切线，而前者不一定以A为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。第2课导数的应用A【考点导读】1．通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。2．结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。【基础练习】1．若函数()fxmxn是R上的单调函数，则,mn应满足的条件是0,mnR。2．函数5123223xxxy在[0，3]上的最大值、最小值分别是5，－15。4．函数1()sin,([0,2])2fxxxx的最大值是，最小值是0。5．函数2()xfxxe的单调递增区间是(-∞,-2)与(0,+∞)。【范例导析】例1．32()32fxxx在区间1,1上的最大值是2。解：当－1x0时，()fx0，当0x1时，()fx0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数3()fxx。例2．求下列函数单调区间：（1）5221)(23xxxxfy（2）xxy12（3）xxky2)0(k（4）xxyln22解：（1）∵232xxy)1)(23(xx∴)32,(x),1(时0y)1,32(x0y∴)32,(，),1()1,32(（2）221xxy∴)0,(，),0(（3）221xky∴),(kx),(k0y，),0()0,(kkx0y∴),(k，),(k)0,(k，),0(k（4）xxxxy14142定义域为),0()21,0(x0y),21(x0y点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。例3．设函数f(x)=3223(1)1,1.xaxa其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。解：由已知得'()6(1)fxxxa，令'()0fx，解得120,1xxa。（Ⅰ）当1a时，'2()6fxx，()fx在(,)上单调递增；当1a时，'()61fxxxa，'(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(,0)0(0,1)a1a(1,)a'()fx+00()fx极大值极小值从上表可知，函数()fx在(,0)上单调递增；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上单调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a时，函数()fx没有极值；当1a时，函数()fx在0x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【反馈演练】1．关于函数762)(23xxxf，下列说法不正确的是（4）。（1）在区间（，0）内，)(xf为增函数（2）在区间（0，2）内，)(xf为减函数（3）在区间（2，）内，)(xf为增函数（4）在区间（，0）),2(内，)(xf为增函数2．对任意x，有34)('xxf，(1)1f，则此函数为2)(4xxf。3．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是5,-15。4．下列函数中，0x是极值点的函数是（2）。（1）3yx（2）2cosyx（3）tanyxx（4）1yx5．下列说法正确的是（4）。（1）函数的极大值就是函数的最大值（2）函数的极小值就是函数的最小值（3）函数的最值一定是极值（4）在闭区间上的连续函数一定存在最值6．函数32()35fxxx的单调减区间是[0，2]。7．求满足条件的a的范围：（1）使axxysin为R上增函数；（2）使aaxxy3为R上的增函数；（3）使5)(23xxaxxf为R上的增函数。解：（1）∵axycos由题意可知：0y对xR都成立∴1a又当1a时xxysin也符合条件∴),1[a（2）同上),0[a（3）同上),31[a第3课导数的应用B【考点导读】1．深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。2．利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。【基础练习】1．若)(xf是在ll,内的可导的偶函数，且)(xf不恒为零，则关于)(xf下列说法正确的是（4）。（1）必定是ll,内的偶函数（2）必定是ll,内的奇函数（3）必定是ll,内的非奇非偶函数（4）可能是奇函数，也可能是偶函数2．()fx是()fx的导函数，()fx的图象如右图所示，则()fx的图象只可能是（4）。（1）（2）（3）（4）4．把长为60cm的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为15cm，宽为15cm。【范例导析】例1．函数cbxaxxxf23)(，过曲线)(xfy上的点))1(,1(fP的切线方程为13xy（1）若)(xfy在2x时有极值，求f(x)的表达式；（2）在（1）的条件下，求)(xfy在]1,3[上最大值；（3）若函数)(xfy在区间]1,2[上单调递增，求b的取值范围解：（1）13:))1(,1()()1)(23()1()1)(1()1(:))1(,1()(23)(:)(223xyfPxfyxbacbayxffyfPxfybaxxxfcbxaxxxf的切线方程为上而过即的切线方程为上点过求导数得由)2(3)1(0212323cbabacbaba即故542)(5,4,2)3)(2)(1()3(1240)2(,2)(23xxxxfcbabafxxfy相联立解得由故时有极值在（2）)2)(23(44323)(22xxxxbaxxxfx)2,3[－2)32,2(32]1,32()(xf+0－0+)(xf极大极小135)2(4)2(2)2()2()(23fxf极大4514121)1(3f]1,3[)(在xf上最大值为13（3）]1,2[)(在区间xfy上单调递增又02)1(,23)(2babaxxxf知由bbxxxf23)(依题意]1,2[03,0)(]1,2[)(2在即上恒有在bbxxxfxf上恒成立.①在603)1()(,16bbbfxfbx小时②在0212)2()(,26bbfxfbx小时b③在.6001212)(,1622bbbxfb则时小综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。点评：本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。例2．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心1O的距离为多少时，帐篷的体积最大？分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设1OO的长度会比较简便。解：设1()OOxm,则由题设可得正六棱锥底面边长为2223(1)82xxx（单位：m）。于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：222223333(1)6(82)(82)42xxxxx。帐篷的体积为（单位：m3）：233313()(82)(1)1(1612)232Vxxxxxx求导数，得23()(123)2Vxx；令()0Vx解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当1x2时，()0Vx,V(x)为增函数；当2x4时，()0Vx,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【反馈演练】1．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是图4。yxOyxOyxOyxO图1图2图3图42．已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为32。3．若π02x，则下列命题正确的是（3）.（1）2sinπxx（2）2sinπxx（3）3sinπxx(4)3sinπxx4．函数()ln(0)fxxxx的单调递增区间是1,e．5．已知函数32()fxxbxcxd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为076yx．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以,2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在M(-1,f(-1))处的切线方程是076yx，知.6)1(,1)1(,07)1(6fff即326,23,121.0,3.bcbcbcbcbc即解得故所求的解析式是.233)(23xxxxf（Ⅱ）22()363.3630,fxxxxx令2210.xx