第十二章圆形分布资料的统计分析

第十二章圆形分布资料的统计分析上海第二医科大学生物统计教研室第一节角度资料概论圆形分布(circulardistribution)统计方法用于处理角度资料。医学中有些观察数据常用角度表示,例如心向量图的方位角,脑血流图的上升角,主峰角等；与环境卫生有关的风向也常用罗盘的方向角度来表示。有些数据以一年中的月,日或一昼夜中的时,分来表示,前者如正常人血压值在一年中各月份的变动;某病的发病率在一年中是否有好发时间,后者如婴儿的出生时刻,心脏病人的发病时刻,在一天中的任何时刻均有可能,可以研究是否有集中于某一时刻的倾向,这一类时间性的资料可化成角度资料来处理。圆形分布中的角度,指的都是圆心角,其特点是周而复始,没有真正的零点,也没有大小之分。习惯上把正北方向定为0,一昼夜中的正午夜(0点0分)也定为0,一年中的1月1日午夜也定为0,但这完全是人为规定的。圆形分布中最常见的是VonMises分布,这是一个单峰圆形分布,相当于线性资料的正态分布,本章所讨论是的都是这类分布。当角度资料在圆上的分布有集中于一个方向的趋势,所求得的平均角(meanangle)经检验不是均匀分布,且为一个集中方向时就称之为单峰圆形分布。反之,当角度资料在圆上的分布均匀(uniformcirculardistribution),无明显的集中趋势,就认为平均角不存在。第二节角的均数及其假设检验二．角离差S和集中趋势r样本统计量r在圆形分布中是描述α离散程度的一种统计指标,它与α的标准差s的关系如下:s=(180/π)度当一组数据中所有αi都等于同一数值时,则这组数据无变异,s=0,而r=1,当一组数据中的αi均匀地分布在圆周上,则r=0,而s则因平均角不存在而无法计算,但当r趋向于0时,s趋向于无穷大。r值的范围在0～1之间,s值的范围在0～∞无穷大之间,s可称为圆标准差rln2三．平均角的假设检验1.所有αi都均匀分布在圆周的一个总体,其集中趋势量度值ρ=0,但在此总体中随机抽一个样本,所得ρ的估计值r不一定为0,因此,当同一个样本资料算得平均角与r后,此是否意义(即是否来自ρ=0的总体)必须进行假设检验,称为均匀性检验(testofuniformity)。此时，H0:ρ=0,即为均匀分布,不存在平均角；H1:ρ≠0,即不是均匀分布,存在平均角。2.均匀性检验方法很简单,根据样本大小n和算得的r或rc查附表十五,如r(或rc)大于或等于表中界值,则P≤α,即在相应的α水准上拒绝H0,表示存在集中趋势,平均角有意义。如r小于表中界值,则Pα,即在α水准上不拒绝H0,认为是均匀分布,不存在集中趋势,故均匀角无意义。检验表12.2二十名妇女的分娩时间所得的均匀角有无意义?解:H0:ρ=0H1:ρ≠0该例中已求得r=0.71645,n=20,查附表十五,n=20时,r0.05=0.3846,r0.01=0.4718，r0.001=0.5687,现rr0.001故P0.001,即在α=0.001水准上拒绝H0,认为存在集中趋势,此平均角有意义。第四节两个或多个样本平均角的比较两个或多个样本的平均角各自经均匀性检验,如果都拒绝H0,则可用Watson-William检验,判断它们是否来自总体平均角都为ρ的总体,即比较平均角之间是否有显著差别。二．两样本平均角比较的U2检验用U2检验法对均匀性及合并r大小等无特殊要求,故不必作平均角的均匀性检验及求合并r值。患A病的6个病人,晚上入睡时间分别为20:30,21:00,21:15,21:20,21:45,22:00;患B病的7个病人,入睡时间分别为21:30,21:45,22:05,22:15,22:20,22:45,22:50,问两种病病人入睡时间的迟早有无差别?（1）将两样本中的时间化为角度,再按角度大小从上向下排列,但仍分两组,各自编序号i与j,排列结果见表12.8第2,4列。（2）两组分别计算i/n1及j/n2,见表12.8第3,6列,A,B两组各有12个可标i或j的格子,而A组有6格填了i,有6个空格,B组有7格填了j,有5个空格,有空格的各行,也要计算i/n1,和j/n2,其i,j的决定方法为:①i或j等于1以前各空格其值为0,例如表中第6列1～4行,j/n2的计算方法为0/7即等于0。②如i或j等于C之后有空格,这些空格在计算i/n1或j/n2时,i或j的值以C代之,如表中i=4与i=5之间有一空格行,它的i/n1为4/6=0.6667。③在i等于6后的各空格,其i/n1,为6/6=1,B组j/n2的空格处,其j/n2计算方法同上。（3）计算各行的d值,置于第7列,d2置第8列,并得∑d=4.8811,∑d2=2.5302。（4）用(12.18)式计算U2值U2=(n1n2)2[∑d2-(∑d)2/n]/n2本例得U2=6×7×[2.5302-(4.8811)2/13]/132=0.1733查附表十八,U20.05(6,7)=0.1941，U2U20.05(6,7),P0.05，不拒绝H0,认为两组分布的差别无统计意义。三．多个样本平均角的比较仍用Watson-William法,计算过程与两样本时相仿,但须求F值。设有K个样本,以ni,ri,Ri分别表示第i个样本的有关统计量。H0:ρ1=ρ2=……=ρkH1:ρi不全相等。kiikiiRNkRRkNKF11)])(1/[(]))([(df1=k-1，df2=N-k，本法也要求各平均角必须经均匀性检验认为有意义才能进行比较,并且合并的r须大于0.45，效果才较满意。第五节圆-圆相关当观察到n对角度数据(αi,βi)时,可以研究α与β之间的相关性,称为圆-圆相关(Angular-AngularCorrelation)。其计算方法与圆形统计量是否均匀分布有关。当α与β都呈均匀分布时,可用H检验法,如α与β中至少有一个为非均匀分布时,就只能计算秩相关。二．圆-圆秩相关当n对圆形分布资料中的α和β中的一个或二个不是均匀分布时,H检验不适用,此时,须用秩相关,有关公式有:E=360°/n(12.30)α'=jE(12.31)β'=kE(12.32)其中j,k分别为αi和βi的秩次r2=-ln(1-)/(n-1)(12.33)P1（1）先对βi依次编秩,起点可任择,现取61.5°为起点,按61.5°→360°(0°)→61.4°顺序排列,分别给以秩k为1,2,3,4,5,6,记于表12.12第3列。（2）同样对αi依次编秩,选37.0°为起点,按37.0°→360°(0°)→36.9°顺序排列,分别给以秩j为1,2,3,4,5,6,记于表12.12第5列。（3）由(12.30)得E=360°/n=60°（4）由(12.31)，(12.32)算得α'i,β'i,将其列于表12.12第6,7列。如:j=1时，α'i=60°；K=3时，β'i=180°等。（5）求各对数据之差,记为δi,各对数据之和,记为Φi,置于表12.12第8,9列。（6）求sinδi,cosδi,sinΦi,cosΦi,并求和,得∑sinδi=1.7321∑cosδi=2.0000∑sinΦi=1.7321∑cosΦi=2.0000（7）由(12.21)，(12.22)式,得=2.0000/6=0.33333=1.7321/6=0.28868第六节圆--线相关当观测到的成对数据中,一个是圆形分布,另一个是线性量时,也可研究两者间的相关性,称为圆--线相关(angular-linearcorrelation)。其公式为:计算时,先求出角度资料的sinα与cosα,然后由求出三个简单相关系数ryc,rys,rsc,再求得r2,其中r即角度与线性量之间的相关系数,它是否来自ρ=0的总体,可由(12.38)式求得χ2值后,据χ2界值表判断。当χ2≥,P0.05，则拒绝H0,认为总体相关系数不为0,也即存在园─线相关。