第十二章微分方程练习题

第十二章微分方程§12-1微分方程的基本概念一、判断题1.y=cex2(c的任意常数)是y=2x的特解。()2.y=(y)3是二阶微分方程。()3.微分方程的通解包含了所有特解。()4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题1.微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是。2.函数y=3sinx-4cosx微分方程的解。3.积分曲线y=(c1+c2x)ex2中满足yx=0=0,yx=0=1的曲线是。三、选择题1．下列方程中是常微分方程（A）、x2+y2=a2(B)、y+0)(arctanxedxd(C)、22xa+22ya=0（D）、y=x2+y22.下列方程中是二阶微分方程（A）（y）+x2y+x2=0(B)(y)2+3x2y=x3(C)y+3y+y=0(D)y-y2=sinx3.微分方程22dxyd+w2y=0的通解是其中c.c1.c2均为任意常数（A）y=ccoswx(B)y=csinwx(C)y=c1coswx+c2sinwx(D)y=ccoswx+csinwx4.C是任意常数，则微分方程y=323y的一个特解是（A）y-=(x+2)3(B)y=x3+1(C)y=(x+c)3(D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。1．22CCxy（其中C为任意常数）2.xxeCeCy3221（其中21,CC为任意常数）五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。12-2可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解1．sec2.tacydx+sec2ytanxdy=02．(x+xy2)dx-(x2y+y)dy=03．(ex+y-ex)dx+(ex+y-ey)dy=04．y=cos(x-y).(提示令.x-y=z)二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解1．cosydx+(1+e-x)sinydy=0.yx=0=42.1.1sec232xyxdxdyyx三、设f(x)=x+x0f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。五、船从初速v0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。12-3齐次方程一、求下列齐次方程的通解1yx-xsin0xy2(x+ycos)xydx-xcosxydy=0二求下列齐次方程满足所给初始条件的特解1．xyaxdy=x2+y2yx=e=2e2.x2dy+(xy-y2)dx=0yx=1=1三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy的通解四、设有连结点O(0，0)和A（1，1）一段向上凸的曲线孤AO对于AO上任一点P（x，y）,曲线孤与PO直线段OP所围图形的面积为x2，求曲线孤AO的方程。12.4一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解1.xy+y=xex2.y+ytanx=sin2x3.y+xxyxsin14.yeyxydxdy3二、求下列微分方程满足初始条件的特解1．ycosy+siny=xy40x2.(2x+1)eyy2ey=4y00x三、已知f(),曲线积分badyxfdxxyxfx)()(sin与路径无关，求函数f(x).四、质量为M0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。五、求下列伯努利方程的通解1．y′+xyx12y52.xy′+y-y2lnx=012-4全微分方程一、求下列方程通解1．[cos(x+y2)+3y]dx+[2ycos(x+y2)+3x]dy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=03.eydx+(xey-2y)dy=0二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解1ydx-xdy+y2xdx=02y(2xy+ex)dx-exdy=0三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。12-7可降阶的高阶微分方程一、求下列各微分方程的通解1．y=xsinx2.y-y=x3.yy+(y)2=y4.y(1+ex)+y=0二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解1．2y=sin2yy20xy10x2.xy-ylny+ylnx=0y21xy21ex三、函数f(x)在x0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及f(x)-0)()(21dtttfxxfx,求f(x).四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。12-8高阶线性的微分方程一、选择题1．下列方程中为线性微分方程（A）（y）+xy=x(B)yxyy2(C)xeyxyxy222(D)yxyyycos32.已知函数y1=221xxe，y1=221xxe，y3=e(x-2)1x则（A）仅y1与y2线性相关（B）仅y2与y3线性相关（C）仅y1与y3线性相关（D）它们两两线性相关3．若y1和y2是二阶齐次线性方程，y+p(x)y+4(x)y=0两个特解，c1c2为任意常数，则y=c1y1+c2y2(A)一定是该方程的通解（B）是该方程的特解（C）是该方程的解（D）不一定是方程的解4．下列函数中哪组是线性无关的（A）lnx,lnx2(B)1，lnx(C)x,ln2x(D)lnx,lnx2二、证明：下列函数是微分方程的通解1y=c1x2+c2x2lnx(c1c2是任意常数)是方程x2y-3xy+4y=0的通解2y=c1e-x+c2exex2(c1c2是任意常数)是方程2xeyy2的通解三、设y1(x)y2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y1(x)y2(x).y3(x).线性无关，证明：微分方程的通解为：)()1()()(3212211xyccxycxycy四、试求以y=1(1cxex+c2e-x)+2xe(c1,c2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。12-9二阶常系数齐次线性微分方程一、选择题1以y1=cosx,y2=sinx为特解的方程是（A）0yy(B)0yy(C)0yy(D)0yy2．微分方程20yyy的通解是（A）xxececy221（B）221xxececy（C）221xxececy(D)xxececy2213．常微分方程0)(2121yyy，（其中21,是不等的系数），在初始条件y1x=0=00xy特解是（A）y=0(B)y=xxecec2121(C)221xy（D）221)(xy4．xey2是微分方程06yypy的一个特解，则此方程的通解是（A）xxececy3221（B）xexccy221)(（C）xxececy3221（D）)3cos3sin(212xcxceyx5．xxececy21是微分方程的通解（A）0yy（B）0yy（C）0yy（D）0yy二、求下列微分方程的通解1．05yy2．044yyy3．04yyy4．065yyy5．01036yyyy5.02)4(yyy三、求下列微分方程满足初始条件的特解1．0102yyy10xy201xy2．032xdtdxdtxd00tx10tx四、一质量为m的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为k），求此质点的运动规律。12-10二阶常数非齐次线性微分方程一、选择题1微分方程，形式为的特解*2yxyy(A)ax(B)ax+b(C)ax2(D)bxax22.微分方程形式为的特解*1yeyyx（A）baex（B）baxex（C）bxaex（D）bxaxex3．微分方程xxeuy22的特解y*形式为（A）xebaxx2)(（B）xebax2)(（C）xxe2（D）xecbxax22)(4．微分方程xyy2cos4的特解y*形式为（A）acos2x(B)axcos2x(C)x(acos2x+bsin2x)(D)acos2x+bsin2x5.微分方程xxyy2sin的特解形式为y*=（A）（ax+b）sin2x(B)(ax+b)sin2x+(cx+d)cos2x（C）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x（D）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f6.微分方程xeyyyx5sin54的特解形式为（A）xbaex5sin(B)xcxbaex5sin5cos（C）xbaxex5sin（D）xcxbaxex5sin5cos二、求下列各方程的通解1．xxeyyy22．xyyysin673．xeyyyxsin524．xxyycos三、求微分方程xyycos9满足022xxyy的特解四、已知二阶常系数微分方程)2(xyyy有特解xxeyx612*，求,,的值，并求该方程的通解五、k为常数。试求xeykyky22的通解。六、设xxdttfxdttfxxf00)()(sin)(，其中f(x)为连续的数，求f(x)。七、一链长18cm，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm，另一边垂下10cm，问整个链子滑过钉子需要多少时间？