留数定理在定积分中的应用

2留数定理在定积分中的应用摘要留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型举例说明几类特殊函数的定积分．关键词留数定理；定积分；应用目录：1.留数定义及留数定理.................................................................................................................2留数定义..........................................................................................................................................2留数定理.........................................................................................................................................22.留数定义及留数定理................................................................................................................33.小结....................................................................................................................................................81．留数定义及留数定理1．1留数的定义设函数fz以有限点a为孤立点，即fz在点a的某个去心邻域0zaR内解析，则积分1:,02fzdzzaRi为fz在点a的留数，记为：Rezasfz．1．2留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D是由复周线012CCCC…nC所围成的有界连通区域，函数fz在D内解析，在_DDC上连续，则0Cfzdz．定理11（留数定理）设fz在周线或复周线C所范围的区域D内，除12,,aa…,na外解析，在闭域_DDC上除12,,aa…,na外连续，则（“大范围”积分）12ReknzakCfzdzisfz．（1）证明以ka为心，充分小的正数k为半径画圆周:kkza（1,2,k…,n）使这些圆周及内部均含于D，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得31knkCfzdzfzdz，由留数的定义，有2Rekkzafzdzisfz．特别地，由定义得2Rekkzafzdzis，代入（1）式得12ReknzakCfzdzisfz．2．留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．2．1形如20cos,sinfxxdx型的积分这里cos,sinfxx表示cos,sinxx的有理函数，并且在0,2上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2，这样当作定积分时x从0经历变到2，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设ixze，则dzizdx，21sin22ixixeezxiiz，21cos22ixixeezxz得2221011cos,sin,22zzzdzfxxdxfziziz12Reknzzkisfz．例1计算2053cosdI．解令ize，则2210253cos3103zdIdzizz121313zdzizz413212Re313zisizz32．例2计算22023cosdxIx．解222102123cos232zdxdzIizxzz2124433zzdzizz1244313zzdzizz，由于分母有两个根121,33zz，其中121,1zz，因此I142Re43zzisi．2．2形如fxdx型的积分把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一：PzfzQz，其中Pz，Qz均为关于z的多项式，且分母Qz的次数至少比分子Pz的次数高两次；第二：fz在半平面上的极点为kz（k＝1，2，3，…，n），在实轴上的极点为kx（k＝1，2，3，…，n）则有12Reknzzkfxdxisfz．例3计算2421xIdxxx．解取224222111zzfzzzzzzz，孤立点为123413131313,,,22222222zizizizi，其中落在上半平面5的为1z，3z，故212Re3kzzkIisfz。例4计算22220xIdxaxa．解由于2222lim0zzzza，且上半平面只有一个极点ia，因此2222xIxa22222Rezaizisza'222zaizizai2a．2．3形如imxPxedxQx型的积分2．3．1留数公式定理21（若尔当引理）设函数gz沿半径圆周:ReiRz（0）上连续，且lim0Rgz在R上一致成立，则lim00RimzRgzedzm．证明00,0R，使当0RR时，有,Rgzz于是Resin00ReReiRimziimimRgzedzgedRed（2）这里利用了Re,ReiigiR以及ResincossiniimmRimRmReee于是由若尔当不等式2sin（02）将（2）化为sin02RimzmRgzedzRed220212mRmReRemRmm6即lim0RimzRgzedz．2．3．2举例例5计算2210ixxeIdxxx．解不难验证，函数2210izzefzzz满足若尔当引理条件．这里1m，2210zgzzz，函数有两个一阶极点13zi及13zi，3'1321313Re6210iizziziiezesfzizz于是2210ixxeIdxxx31326iieii33cos13sin13cos1sin133eie．2．4形如cosPxmxdxQx和sinPxmxdxQx型积分定理31设PxgzQx，其中Px和Qx是互质多项式，并且符合条件：（1）Qx的次数比Px的次数高；（2）在实轴上0Qx；（3）0m．则有2Rekkimximzzaimagxedxisgze（3）特别地，将（3）式分开实虚部，就可用得到形如cosPxmxdxQx及sinPxmxdxQx的积分．例6计算22cos19xIdxxx．7解利用221019zzz以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点zi和3zi，得到22cos19xIxx22223Re2ReRe1919izizzizieeisszzzz''22223Re21919izizzizieeizzzz13Re21648eeiii233124ee．例7计算440sinxmxIdxxa（0,0ma）．解被积函数为偶函数，所以440sinxmxIdxxa44441sin122imxxmxxedximdxxaxa，设函数关系式为44imzzefzza，它共有四个一阶极点，即24kikaae（0,1,2,3k）得44Rekkimzzazazesfzza（0,1,2,3k），因为0a，所以fz在上半面只有两个一阶极点0a及1a，于是444402Rekmkimximzzazaxezedxisxaza22sin2maimaea，故440sinxmxIdxxa824421sin222maimxxeimaimdxexaa．3.小结上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别，也有联系．解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时，利用留数定理能收到很好的效果.致谢：感谢王学顺老师悉心的教导！参考文献［1］钟玉泉.复变函数论［M］高等教育出版社，2004.［2］盖云英.复变函数与积分变换指导［M］科学出版社，2004.［3］王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解［M］中国时代经济出版社，2008.［4］王瑞苹.论留数与定积分的关系［J］菏泽学院学报,2005.［5］余家荣.复变函数论［M］高等教育出版社，2004.［6］李红,谢松发.复变函数与积分变换［M］华中科技大学,2003.