第十二章级数

第十二章无穷级数§1常数项级数的概念和性质1、设级数053nnn，则其和为（）A21B53C25D352、若0limnna，则级数1nna（）A收敛且和为0B收敛但和不一定为0C发散D可能收敛也可能发散3、若级数1nnu收敛于S，则级数)(11nnnuu（）A收敛于2SB收敛于2S+1uC收敛于2S-1uD发散4、若nnblim，0nb,求)11(11nnnbb的值解：(nS11143322111)11......()11()11()11(nnnbbbbbbbbbb所以11limbSnn5、若级数1nna收敛，问数列{na}是否有界解：由于0limnna，故收敛数列必有界。6、若aannlim，求级数)(11nnnaa的值解：nS1113221)......())(()(nnnaaaaaaaa故aaaaaannnnn11111)(lim)(7、求)(12121nnnaa的值解：nS)(3aaaaaaaannn12121235)......()(故)(12121nnnaa=aaann1)(lim128、求1)2)(1(1nnnn的和()41§2常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、判定级数1)13)(23(1nnn的敛散性解：由于)13)(23(1nn21n,而121nn收敛，故1)13)(23(1nnn收敛2、判定敛散性11nnnn解：nn=2121).1(1.....1.1.nnnnnnn故nnn1n21,而级数121nn发散，故11nnnn发散3、判定敛散性111nna)0(a,1a收敛;a01,发散4、判定敛散性13221nnnnenenne(收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、判定级数1!.3nnnnn的敛散性解：eaannn3lim11,所以1!.3nnnnn发散6、判定级数1354nnnn的敛散性解：154lim1nnnaa，所以1354nnnn收敛7、112tan.nnn收敛8、nnnan1)1(，1a收敛三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？7、1113)1(nnnn（绝对收敛）10、11)1()1(nnnn（条件收敛）四、判定1323sinnnnn是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛解：|nnn23sin3|nn23，用比值判别法知收敛132nnn,所以1323sinnnnn绝对收敛§3幂级数1、设幂级数0nnanx在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（）A绝对收敛B条件收敛C发散D可能收敛也可能发散2、级数1nnnnxn)2(2)1(11的收敛域（0，4]3、求幂级数]32)1([nnnnnxx1n的收敛半径（31）4、若级数1nnanx)2(在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是否绝对收敛（绝对收敛）5、求幂级数1nnnnx42)5(12的收敛域解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收敛域为（-7，-3）6、求幂级数1nnxnn13)(的收敛域解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以收敛域为（-3，3]7、求幂级数11414nnnx的和函数（xxxxarctan2111ln41-1x1）8、求幂级数1nnxnn)2(的和函数解：1n1n1n1n1n)()()1()2(122nnnnnxdxdxxdxdxnxxnnxnn=3)1()3(xxx（-1x-1）§4函数展开成幂级数1、将函数f(x)=2312xx展开成x的幂级数解：f(x)=)2(1)1(1xx由的幂级数和)2(1)1(1xx展开式可得f(x)=1nn1n)x21-(1x)1,1(2、将函数f(x)=)1ln(2xx展开成x的幂级数解：211)('xxf而211x=.....4.23.121142xxx]1,1[两边积分得1n1n2nn2x)1n2(n!2!1)!-(2n-1)(x)x1xln(x)1,1(3、将函数f(x)=)1)(1)(1)(1(1842xxxx展开成x的幂级数解：f(x)=......1.....)1)(1)(1(1133321716321616xxxxxxxxxx4、将函数f(x)=652xxx展开成x-5的幂级数解：f(x)=)5(23x)5(32x=1nn1n1nn5)-)(x32-23(-1)(x)7,3(5、的幂级数．的和函数展开成将级数)1()!12(2)1(12111xnxnnnn解：112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx=2sin2x211sin2x21sin21cos221cos21sin2xx01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxnxR§5函数幂级数展开式的应用1、计算ln2的进似值（要求误差不超过0.0001）解：在lnx的幂级数展开式中令x=2ln2=1-....)1.......(4131211n考虑误差范围可求得ln26931.02、计算定积分dxex21022的进似值（要求误差不超过0.0001）解：2xe=0nnnxn2!1)1(dxxndxennx2102210]!1)1([2220n=......)!2.5.213.211(142再考虑误差范围可求得dxex210225205.03、计算积分dxxx10sin的进似值，（要求误差不超过0.0001）....!5!31sin43xxxx.....!7.71!5.51!3.311sin10dxxx再考虑误差范围可求得dxxx10sin9461.0§7傅里叶级数1、设f(x)是周期为2的周期函数，它在[-),上的表达式为f(x)=xxx0,0,试将f(x)展开成傅立叶级数解：2)(10dxxfa]1)1[(1cos)(12nnnnxdxxfabn=])1(21[1sin)(1nnnxdxxf再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式2、将函数)0(,2)(xxxf展开成正弦级数1]),0(,sin12(nnxnx3、将函数)0(,1)(2xxxf展开成正弦级数和余弦级数)),0[,sin)]2()1(2[21121332nxnnnxnn),0[,cos1)1(431111222nxnxnn§8一般周期函数的傅立叶级数1、将f(x)=2+|x|(-1)1x展开成以2为周期的傅立叶级数后求021nn的值解：展开f(x)=022)12()12cos(425nnxn代x=0得8)12(1202nn021nn=02)12(1nn+02)2(1nn得61202nn2、将f(x)=x-1(02x)展开成周期为4的余弦级数解：0)1(2220dxxa]1)1[(42cos)1(222220nnndxxnxaf(x)=2)12(cos)12(18122xkkk(02x)3、将f(x)=x-1(02x)展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8)解：s(8)=s(0)=02112)00()00(ff4、设f(x)=xx22)1,21(]21,0[xx，S(x)=20aRxxnann,cos1,其中na=210.....3,2,1,0,cos)(nxdxnxf求S()27解：S()27=S()21=2)021()021(ff=43第十一章自测题一选择题:（40分）1、下列级数中,收敛的是().(A)11nn；(B)11nnn；(C)1321nn；(D)1)1(nn.2、下列级数中,收敛的是().(A)11)45(nn；(B)11)54(nn；(C)111)45()1(nnn；(D)11)5445(nn.3、下列级数中,收敛的是()(A)1222)!(nnn；(B)1!3nnnnn；(C)22sin1nnn；(D)1)2(1nnnn.4、部分和数列ns有界是正项级数1nnu收敛的()(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设a为非零常数,则当()时,级数1nnra收敛.(A)1r；(B)1r；(C)ar；(D)1r6、幂级数11)1()1(nnnnx的收敛区域是().(A)]2,0(；(B))2,0[；(C)（0,2）(D)[0,2]7、0limnnu是级数1nnu收敛的()(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件.8、幂级数1)1(nnxnn的收敛区间是()(A)]1,1(；(B))1,1(；(C))1,1[；(D)]1,1[.二、（8分）判别下列级数的收敛性1、1222)!(nnn；2、1223cosnnnn三、（6分）判别级数11ln)1(nnnn的敛散性.四、（6分）求极限])2(842[lim312719131nnn.五（8分）求下列幂级数的收敛区间:1、153nnnnxn；2、122nnnxn.六（6分）求幂级数1)1(nnnnx的和函数.七（6分）求数项级数12!nnn的和.八（6分）试将函数2)2(1x展开成的幂级数x.九（6分）设)(xf是周期为2的函数,它在],[上的表达式为),0[,)0,[,0)(xexxfx将)(xf展开成傅立叶级数.十（8分）将函数xhhxxf,00,1)(分别展开成正弦级数和余弦级数.自测题答案一、1、B；2、B；3、C；4、C；5、D；6、A；7、B；8、B.二、1、发散；2、收敛.三、条件收敛.四、48.(提示:化成nn3323122)五、1、)51,51[；2、)2,2(.六、0,0)1,0()0,1(),1ln()11(1)(xxxxxs.七、e2.八、)2,2(,2)2(11112xxnxnnn九、xnxnennneexfnnn]sin1)1)1((cos11)1([121)(2112(,2,1,0,nnxx且).十、),(),0(,sincos12)(1hhxnxnnhxfn),(),0[,cossin2)(1hhxnxnnhhxfn.