第13讲：奔驰定理

1奔驰定理---【A】知识点(1)奔驰定理（点P在三角形ABC内部）(2)奔驰定理（点P在三角形ABC外部）(3)推论ⅰ、点P是三角形ABC的重心（三边中线的交点）ⅱ、点P是三角形ABC的内心（三个角平分线的交点）ⅲ、点P是三角形ABC的垂心（三条高线的交点）ⅳ、点P是三角形ABC的外心（三边中垂线的交点）2【B】例题讲解例1、设G是ABC的重心，且0)sin35()sin40()sin56(GCCGBBGAA，则角B的大小为_______例2、若点O在ABC的内部，且053OBOCOA，则ABC的面积与AOC的面积之比是________.例3、若点O在ABC的内部，且02OCmOBOA，74ABCAOBSS，则实数m=_________.例4、（2016清华大学自主招生）若点O在ABC的内部，2:3:4::AOCBOCAOBSSS,设ACABAO，则实数=_____，=_____.例5、（2018绍兴高三5月卷15）已知ABCΔ的外接圆的圆心为O，且60∠=A，若)∈β,α(βαRACABAO+=，则βα+的最大值是__________3【C】能力提升1、已知ABC中，I为内心，,4,3,2ABBCAC且ACyABxAI,则，则yx的值为______.2、设P是ABC所在平面上一点，且满足)0(,43mABmPCPA，若ABP的面积为8，则ABC的面积是_______.3、在ABC中，HBCACAB,2,3,4为ABC的垂心，ACyABxAH，则xy=______.4、(齐鲁名校协作体)已知G是ABC的重心，点NM,分别在边ACAB,上，满足ANyAMxAG,1yx，若,43ABAM则ABC和AMN的面积之比是____________.5、正三角形ABC内一点M，满足CBnCAmCM，45MCA，则nm=______________.6、(吉林实验中学高三四模)已知ABC的外接圆O的半径为1，且BCBABO，若60ABC，则的最大值是________.47、(2018高一数学竞赛)已知点O是锐角ABC的外心，3A，且OCyOBxOA，则yx2的取值范围是_______________.【D】三角形四心问题补充1、已知点O是ABC所在平面内一点，满足222222||||||||||||ABOCCAOBBCOA,则点O是ABC的_____心。2、已知点O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足),0[),||||(ACACABABOAOP，则点P的轨迹通过ABC的______心3、已知点O是ABC所在平面内一点，动点P满足：),sin||sin||(ACBACACABCABABOAOP其中),0(,则动点P的轨迹一定通过ABC的______心。4、已知点O是ABC所在平面内一点，动点P满足：),sin||sin||(22ACBACACABCABABOAOP其中),0(,则动点P的轨迹一定通过ABC的______心。5、已知向量OCOBOA,,满足条件：0OAOBOC，且2||||||OCOBOA，点P是ABC内一动点，则CPCABPBCAPAB__________