第十二章轴对称教案及习题

八年级数学上轴对称轴对称与轴对称图形重点:对轴对称图形与轴对称概念的理解难点:轴对称图形与轴对称的联系与区别一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，(A)(B)(C)(D)这两个部分图形就成轴对称。常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。课堂练习1下列图案中，不是轴对称图形的是()2、下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（）A.B.C.D.3、仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形_________4、在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是。5、下列图形中对称轴最多的是()A、圆B、正方形C、等腰三角形D、线段6、在实际生活中，轴对称无处不在，请你用给定的图形“○○，△△，————”（两个圆，两个三角形，两条线段）为构件，尽可能多地构思独特且有实际生活意义的成轴对称的一对图形，并写出一两句诙谐、贴切的解说词。如:3090874．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。（也称线段的中垂线）重点：垂直平分线的性质难点：垂直平分线的性质例1如图，已知OP⊥AB,AO=BO,求证：PA=PB例2、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，求线段MN的长。AB∟OPlAB○○△△∣∣两个棒棒糖EABP0MNF例3△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。7.等腰三角形：学习目标知识与能力：1巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，2并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。过程与方法：通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。重点等腰三角形性质的探索及应用难点等腰三角形三线合一的性质理解和应用例1、填空：如图1，在△ABC中○1∵AB=AC，∴∠=∠（）②∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=，⊥。（）③∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=，⊥.（）④∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD=，BD=.（）EDCBA①证明等腰三角形底角的性质：要求：学生根据猜想的结论画出相应的图形，写出已知和求证已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠C强调以下两点：（1）需要添加辅助线构造全等来证明；（2）添加辅助线的方法可以多样，常见的有作顶角的平分线、作底边上的高或作底边上的中②证明等腰三角形“三线合一”的性质ACBDBAC例2：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。（）例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。lBAClBAClBAC方法1方法2方法3课后习题A组1.下列说法中错误的是（）A成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B关于某条直线对称的两个图形全等C全等的三角形一定关于某条直线对称D若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°5.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（）A．平行B.AO垂直且平分BCC.斜交D.AO垂直但不平分BC6.△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（）A.35°B.40°C.70°D.110°7.下列叙述正确的语句是()A.等腰三角形两腰上的高相等B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C.顶角相等的两个等腰三角形全等D.两腰相等的两个等腰三角形全等8．如图2，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（）．①点P在∠A的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④BRP≌△QSP.A．全部正确;B．仅①和②正确;C．仅②③正确;D．仅①和③正确9．△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=（）．A．30°B．45°C．60°D．15°二、填空题10.如图,OE是∠AOB的平分线,AC⊥OB于点C,BD⊥OA于点D,则关于直线OE对称的三角形有对.11.从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是：则该编码实际上是.12.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离为______cm13.如图3，在△ABC中BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和BAPACDE图3∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_______cm14.△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有______个15.如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有____个16．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．B组一、填空题（每题3分，共30分）1.等边三角形的内角都等于________.2.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,BD=5,则CD=____________.3.等腰三角形一个底角是30°,则它的顶角是__________.4.等腰三角形的对称轴最多有___________条.5.等腰直角三角形的斜边的长为2,则斜边上高线的长为________.6.等腰三角形中，已知两边的长分别是9和4，则周长为_______.7.观察字母A、E、H、O、T、W、X、Z，其中不是轴对称的字母是__________.8.如图，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=_______.9.由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图）.请你用两种不同的方法分别在上图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.10.在平面直角坐标系中，x轴一动点P到定点A(1，1)、B（5，7）的距离分别为AP和BP，那么当BP+AP最小时，P点坐标为_______________.ABC图4ABDCABCDOE二、选择题（每题3分，共30分）11.下列图形:①角②两相交直线③圆④正方形,其中轴对称图形有()(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个12.圆、正方形、长方形、等腰梯形中有唯一条对称轴的是（）(A)圆(B)正方形(C)长方形(D)等腰梯形13.点(3,-2)关于x轴的对称点是()(A)(-3,-2)(B)(3,2)(C)(-3,2)(D)(3,-2)14.下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是（）(A)1,1,2(B)2,2,5(C)3,3,5(D)3,4,515.如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）（A）∠B=∠D（B）∠A=∠B（C）OA=OB（D）AD=BC16.如图，△ABC中,∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形的个数（）（A）1个（B）3个（C）4个（D）5个17.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角（）（A）75°或30°（B）75°（C）15°（D）75°和15°18.如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的三角形中()(A)ADDHAH(B)ADDHAH(C)DHADAH(D)ADDHAH19.等腰三角形ABC在直角坐标系中,底边的两端点坐标是(-2,0),(6,0),则其顶点的坐标,能确定的是()(A)横坐标(B)纵坐标(C)横坐标及纵坐标(D)横坐标或纵坐标AEBCDABCDMNHEABCDO20.如图,一张长方形纸沿AB对折,以AB中点O为顶点将平角五等分,并沿五等分的折线折叠,再沿CD剪开,使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形).则∠OCD等于()(A)108°(B)114°(C)126°(D)129°三、解答题(每题8分,共40分)21.（1）把图中（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的蝴蝶图案.（2）如图，在直线l上找一点，使PA=PB.22.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.22题图23.如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列四条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB＝OC.（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.ABCDLABl21.(1)图21.(2)图C组一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分．下列各题都有代号为A，B，C，D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的)1．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有()A．1个D．2个C．3个D．4个2．如图所示的图形共有()对称轴．A.1条B．2条C.3条D．4条3．如图，直线a，b，c表示交叉的公路，现要建一货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有()A.一处B．两处C.三处D．四处4．如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在条三边上，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定5．下列说法；1．若直线PE是线段AB的中垂线，则EA＝EB，PA＝PB；2．若EA＝EB，PA＝PB，则直线PE垂直平分线段AB；3．若PA=PB，则点P必是线段AB的中垂线上的点；4．若AE=BE，则经过点E的直线垂直平分线AB，其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，则点B的坐标为()A．(-1，2)B．(-1，-2)C.(1，2)D．(-2，1)7．如图，牧童在A处放牛，其家在月处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是()米A.750B．1000C.15