第十二章选考部分(理)12-2坐标系与参数方程

第12章第2节一、选择题1．(2010·湖南文，4)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－ty＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是()A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线[答案]D[解析]由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程x＝－1－ty＝2＋t中的参数t可得，x＋y－1＝0，此方程所表示的图形是直线．2．(2010·北京市延庆县模考)下列参数方程(t为参数)中，与方程y2＝x表示同一曲线的是()A.x＝ty＝t2B.x＝tan2ty＝tantC.x＝ty＝|t|D.x＝tanty＝tan2t[答案]B[解析]将t＝x代入y＝t2得，y＝x2，故A错，将tant＝y代入x＝tan2t中得，x＝y2，∵tant∈R，故B正确，C、D容易判断都是错的．[点评]注意C中x＝ty＝|t|，消去t得y＝|x|，平方得y2＝|x|，∵y2≥0限定了x的取值必须非负，∴y2＝x，但由于y＝|x|，故它必须满足y≥0，而y2＝x中的y∈R.3．将曲线y＝12sin3x变为y＝sinx的伸缩变换是()A.x＝3x′y＝12y′B.x′＝3xy′＝12yC.x＝3x′y＝2y′D.x′＝3xy′＝2y[答案]D4．(2010·延边州质检)直线x＝1＋2ty＝1－2t(t为参数)被圆x＝3cosαy＝3sinα(α为参数)截得的弦长为()A．27B.7C．47D．2[答案]A[解析]将直线x＝1＋2ty＝1－2t化为普通方程得x＋y＝2，将圆x＝3cosαy＝3sinα化为普通方程得x2＋y2＝9.圆心O到直线的距离d＝|0＋0－2|12＋12＝2，所以弦长l＝2R2－d2＝27.5．(2010·安徽合肥六中)已知圆C的参数方程为x＝－1＋cosαy＝1＋sinα(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为()A.13B.15C．－13D．－15[答案]D[解析]⊙O的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线距离最大，∵kCA＝－5，∴－k＝15，∴k＝－15.6．(2010·重庆一中)曲线x2＋y2＝4与曲线x＝－2＋2cosθy＝2＋2sinθ(θ∈[0,2π))关于直线l对称，则l的方程为()A．y＝x－2B．y＝xC．y＝－x＋2D．y＝x＋2[答案]D[解析]圆x2＋y2＝4的圆心C(0,0)，圆x＝－2＋2cosθy＝2＋2sinθ，θ∈[0,2π)的圆心O(－2,2)，∵⊙O与⊙C关于直线l对称，∴l为线段OC的中垂线，∵kOC＝－1，∴kl＝1，∴l方程为：y－1＝x－(－1)，即y＝x＋2.二、填空题7．(2010·广东罗湖区调研、中山市、惠州一中模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．[答案]ρcosθ＝3[解析]解法一：圆ρ＝6cosθ的圆心极坐标(3,0)，∴直线l方程为ρcosθ＝3.解法二：由ρ2＝6ρcosθ得x2＋y2＝6x，圆心C(3,0)，∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为x＝3，其极坐标方程为ρcosθ＝3.[点评]1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形式是基本方法，故应熟记互化公式．2．掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要．8．(2010·广东佛山顺德区质检)若直线x＝－1＋2ty＝－1－t(t为参数)被曲线x＝1＋3cosθy＝1＋3sinθ(θ为参数)所截，则截得的弦的长度是________．[答案]655[解析]直线x＝－1＋2ty＝－1－t化为x＋2y＋3＝0；圆x＝1＋3cosθy＝1＋3sinθ化为(x－1)2＋(y－1)2＝9，圆心C(1,1)到直线x＋2y＋3＝0距离d＝655，半径r＝3，∴弦长为2r2－d2＝655.9．以椭圆x225＋y216＝1的焦点为焦点，以直线x＝2ty＝4t为渐近线的双曲线的参数方程为________________．[答案]x＝secθy＝22tanθ(θ≠kπ＋π2)[解析]∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c＝3，又直线x＝2ty＝4t化为y＝22x，它是双曲线的渐近线，∴ba＝22，∴a2＝1，b2＝8，∴a＝1，b＝22，∴双曲线的参数方程为x＝secθy＝22tanθ(θ≠kπ＋π2)．10．(2010·惠州质检)直线x＝3＋tcos230°y＝－1＋tsin230°(t为参数)的倾斜角是________．[答案]50°[解析]解法一：当x≠3时，x－3＝tcos230°y＋1＝tsin230°⇒y＋1x－3＝tan230°＝tan(180°＋50°)＝tan50°，∴直线倾斜角是50°.解法二：方程化为x＝3－tcos50°y＝－1－tsin50°，∴倾斜角为50°.11．(2010·江门市质检)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是x＝cosθy＝sinθ＋m(m是常数，θ∈(－π，π]是参数)，若曲线C与x轴相切，则m＝________.[答案]±1[解析]∵⊙C：x2＋(y－m)2＝1与x轴相切，∴m＝±1.12．(2010·广东玉湖中学)椭圆x＝3cosθy＝4sinθ的离心率是________．[答案]74[解析]由已知可得椭圆的普通方程为x29＋y216＝1，∴a＝4，b＝3，c＝7，e＝ca＝74.13．(2010·北京顺义一中月考)已知曲线C1：x＝3＋2cosθy＝2＋2sinθ(θ为参数)，曲线C2：x＝1＋3ty＝1－4t(t为参数)，则C1与C2的位置关系为________．[答案]相离[解析]圆C1：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心C1(3,2)到直线C2：4x＋3y－7＝0的距离d＝1152，∴C1与C2相离．14．(2010·惠州质检)在极坐标系中，过点22，π4作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程为______．[答案]ρcosθ＝2[解析]点22，π4的直角坐标x＝22cosπ4＝2，y＝22sinπ4＝2，圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x＝2，即ρcosθ＝2.三、解答题15．(2010·江苏盐城调研)以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度)，已知点A的直角坐标为(－2，6)，点B的极坐标为4，π2，直线l过点A且倾斜角为π4，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．[解析]∵直线l过点(－2,6)，倾斜角为π4，∴直线l的参数方程为x＝－2＋22ty＝6＋22t(t为参数)，又圆心B的直角坐标为(0,4)，半径为4，∴圆C的直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，将x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ代入化简得圆C的极坐标方程为ρ＝8·sinθ.16．(2010·苏北四市模考)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．[解析]因为直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)所以直线l的普通方程为y＝3x，又因为曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝1＋cos2α(α为参数)所以曲线C的直角坐标方程为y＝12x2(x∈[－2,2])，由y＝3xy＝12x2解得，x＝0y＝0，或x＝23y＝6，∵－2≤x≤2，∴x＝23y＝6应舍去，故P点的直角坐标为(0,0)．17．(2010·哈师大附中)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l被曲线C所截的弦长．[解析]将方程x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)化为普通方程得，3x＋4y＋1＝0，将方程ρ＝2cosθ＋π4化为普通方程得，x2＋y2－x＋y＝0，它表示圆心为12，12，半径为22的圆，则圆心到直线的距离d＝110，弦长为2r2－d2＝212－1100＝75.