第十二讲根据几何图形性质求函数的解析式

第十二讲根据几何图形性质求函数的解析式我们学习了一次函数，正比例函数，反比例函数，以及二次函数．它们的解析式分别可以用y=kx+b,y=kx,y=k/x,y=ax2+bx+c的形式来表示，其中k≠0，a≠0,这一类函数是明确的，求这些函数的解析式，是我们必须掌握的求这些函数的解析式时，要根据所给的条件及函数的类型，运用“待定系数法”求解．具体解题过程是：一、确定解析式的形式，设出解析式的表达式；二、代入解析式中，形成关于待定系数的方程或方程组；三、解方程或方程组，求出相应的待定系数；四、然后回代所设的解析式中即可．今天，我们要研究的是如何根据几何图形的性质来确定函数的解析式．几何图形的性质，对于求这类函数的解析式起着至关重要的作用．例1△ABC中，AB=AC，∠A=x°，∠B=y°，请你写出y与z的函数关系式，并指出z的取值范围．分析：等腰三角形△ABC中，AB=AC，它的顶角是A，底角是B和C．等腰三角形顶角、底角之间第一个关系是内角和180°；第二个关系，顶角的度数=180°-2个底角的度数，底角度数是,因此我们利用等腰三角形这样的性质直接写出本题结果．即y=.x的取值范围在0x180°之内．例2在△ABC中，AB=5，AC=4，D、F分别在AC、AB上，并且使∠ADE=∠B，若DC=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围．其中(0≤x4)x=0时，D与C重合D点可以在AC上运动，所以x的大范围是在0和4之间，解题时可以先写出大范围，然后再审查端点值．当x=0的时候，D点与C重合，这时候相似仍然存在，所以解的结果不变；当x=4的时候，相似不存在，所以x不能等于4．例3边长为a的等边三角形ABC中，D、E分别是BC，AC上的点，∠ADE=60°．设AE=y，DC=x．(1)试写出y与z的函数关系式，并求出y的最小值．(2)若，BD∶DC=1∶2，求S△ADE(3)当∠DAE=45°时，求x．例4已知：如图，△ABC中，中线BD、EC交于F，BC=4，EC=3，∠BCF=30°，P为BC上一个动点，PD与EC交于G．如果PC=x，S△PFG=y，试求y与x的函数关系式．解：连结DE，PH⊥EC于H．∵PC=x，∠BCE=30°，∴PH=．∵BD、EC是中线，BC=4，EC=3，因为P是BC上的一个动点，x的值要能在直角三角形PHC中利用锐角三角函数求得．所以，x不能等于0，也不能等于4，因此自变量x的取值范围是Ox4．例5知：如图，BD是半圆O的直径，BD=8，M是BD的中点，A为DM上一点，AC=BA，AC与BD的延长线交于C，作AE⊥BD于E，设AB=x，CD=y．(1)写出y与x的函数关系式，并求z的取值范围：(2)x取何值时，AC与⊙O相切；(3)当AC与⊙O相切时，求tan∠OAE的值．解：(1)连结AO.∵BD为⊙O直径，BD=8，∴BO=AO=4∵AB=AC，∠ABO=∠CBA，∴△ABO∽△CBA此时Y是X的二次函数，当A点如果和M点重合时候，得到AB=4由于点A不能和M点重合，所以x4.A不能与M重合，否则AC与BC不相交．当x=8的时，AB变成BD，即A和D重合时，A、O、B在同一条线上．∴AB=BD=8∴y=DC=BD=8把x=8代入y=x2-8中，得y=8，与A与D重合时DC=8相符合(2)当AC与④0相切时，OA⊥AC.在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO2+AC2=OC2∴42+X2=(4+y)2即16+x2=(x2-8+4)2解出x=4.当x=4时，AC与⊙O相切．(3)当AC与⊙O相切时，AO=4，AC=4．在Rt△AOC中，AE⊥OC．∴∠OAE=∠C，∴tan∠OAE=．例6已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE上DP，PE与直线AB交于点E．(1)试确定当CP=3时，点E的位置；(2)若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1、P2，使按上述作法得到的点E都和点A重合，试求此时a的取值范围．解：(1)当时CP=3时，作PE⊥DC，四边形ADFB为矩形，BF=AD=9，则FC=3，此时P与F重合，又BF⊥FD，∴点E与点B重合．(2)①当点P在BF上时，∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3．Rt△BEP∽Rt△DPF．整理，得y=(x2-15x+36)②当点P在CF上时，同理可得y=(x2-15x+36)∴y=(x2-15x+36)(3≤x12)(3)当E与A重合时，y=BE=a，此时点P在线段BF上．∴a=(x2-15x+36)，即x2-15x+36-a2=0∵在BC上能找到两个不同的点P1、P2满足条件，．∴方程x2-15x+36-a2=0有两个不相等的正数根．∴△(-15)2-4(36+a2)0解出a2.又∵a0，∴0a．即满足(3)条件的a值为oa．第(3)问借助第(2)问所求得的函数关系式，把它转化为一元二次方程根的问题．由于有两个不同点P1、P2，所以，方程应该有两个不等的实数根．利用判别式大于0来求a的取值范围，这说明，我们要掌握利用几何图形的性质来构造方程，利用几何图形的性质构造函数解析式不是为构造而构造，而是通过构造函数来进一步解决比较复杂的问题．