第十二讲相似形(二)

★远辉教育学校春季（八年级·下）培优数学学案我学习，我成长，我收获，我快乐！★第十二讲相似形（二）一、知识梳理1、将实际问题抽象成几何图形，利用三角形相似，对应边成比例来求出不易测得的高度和宽度，你学习的测量旗杆的方法有①；②；③；2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于。3、相似多边形的周长比等于，面积比等于。4、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做，这个点叫做，这时相似比又称为。5、位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于。二、重难点高效突破例1如图所示，路边有两根相距4m的电线杆AB，CD，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两电线杆固定，（1）求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度NH。（2）若将BD=4米改为BD=a米,求高度NH；（3）综合（1）（2）你有什么结论跟踪训练1、某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为0.8m，旗杆的影子长7m，已知他的身高为1.6m，则旗杆的高度为（）A．8mB．10mC．12mD．14m2、为了测量一棵大树的高度，准备如下测量工具：①镜子，②皮尺，③长为2米的标杆，④高为1.5米的测角仪。请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具序号填写）_____________；（2）画出测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中哪些数据，并用a、b、c、α、β等字母表示测得的数据_____________；（4）写出求树高的算式：AB=____________。3、两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之和为78，则较大三角形的面积为（）A．54B．46.8C．42D．524、如果两个相似三角形的最大边上的中线分别是5厘米和2厘米，它们的周长差是60厘米，那么这两个三角形的周长分别为______________.5.（2009·济宁中考）如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．22cmB．24cmC．28cmD．216cmMEACBDFH★远辉教育学校春季（八年级·下）培优数学学案我学习，我成长，我收获，我快乐！★三、相似三角形的题型及证题技巧1平行截割法例1、（1）如图，已知直线XY分别交△ABC的AB、AC于F、E，交BC延长线于D，求证：1AECE·CDBD·FBAF（2）、如图，过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于F、E。求证：FBAFEDAE2跟踪训练1、如图，已知AE∥BC，BD=DC求证：PD：PE=QD：QE2、已知，如图，E为△ABC的边AC的中点，过E作FD交AB于D，交BC的延长线于F，求证：AD·BF=BD·CFFAEBDXYCEDABCFQDAPECBEABCFD★远辉教育学校春季（八年级·下）培优数学学案我学习，我成长，我收获，我快乐！★2、用比例证明线段相等例2、如图，已知A、C、B、D是∠O两边上的点，且CDABOCOA，延长AB、CD交于E。求证：BE=DE跟踪训练1、如图，P是△ABC的BC边三中线AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：BE=CF2、如图，已知△ABC中，D是BC上一点，且BD：DC=1：2，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，EF的延长线交CB的延长线于G。求证：EF=FG3、等线段代换法例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°边AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，BG⊥AB交EF于的G。求证：CF是EF与FG的比例中项。ABCDPEFFABCGEDBDOEACFEACBG★远辉教育学校春季（八年级·下）培优数学学案我学习，我成长，我收获，我快乐！★跟踪训练1、如图，在矩形ABCD中，E是CD中点，BE⊥AC且交AC与F，过F作FG∥AB，交AE于G，求证：AG²=AF·FC2、如图，在正方形ABCD中，F是BC上一点，EA⊥AF交CD延长线于点E，连接EF交AD于G。（1）求证：△ABF≌△ADE（2）求证：BF·FC=DG·EC4、等比代换法，（即“中间比”转换法）例4、如图，正方形ABCD中，BH=BQ，BP⊥HC。求证：DP⊥PQ跟踪训练1、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC中点，延长ED交AB的延长线于F。求证：（2）AB·AF=AC·DFBDGACEFDQBACHPCBEAFDCBFEDAG★远辉教育学校春季（八年级·下）培优数学学案我学习，我成长，我收获，我快乐！★2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，M是CD上的点，DH⊥BM于H，DH、AC的延长线交于E。求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AE·CM=AC·CD5、利用相似三角形的性质解决三角形中内接正方形问题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.（1）如图1，正方形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长。（2）如图2，正方形DKHG,EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长。（3）如图3，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长。（4）如图4，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形边长。（5）如图5，将3个正方形PQDS、正方形DEFG、正方形HENM放置于Rt△ABC内，其中点P、G在边AC上，点F、M在边BC上，Q、D、E、N在边AB上。①图中共有______对相似三角形；②证明：△PSG≌△FHM；③设正方形PQDS、正方形DEFG、正方形HENM的面积分别为321SS、、S。求1S：2S：3SED图1CABGFEDSQM图5CABGFPHND图2CABGFEHK图3CAB图4CABBKHCAEDM★远辉教育学校春季（八年级·下）培优数学学案我学习，我成长，我收获，我快乐！★6、动态中的相似题型（2009奉化保送题改编）等腰三角形ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小惠拿着含30°的透明三角板，使30°角的顶点落在点P处，三角板绕点P旋转。（1）如图1-1，三角板的两边分别与AB、AC交于E、F时，求证：△BPE～△CFP.（2）当三角板绕点P旋转，使三角形的两边分别交于BA的延长线及边AC于E、F点，△BPE与△CFP还相似吗？（3）连接EF，△BPE与△PEF相似吗？请说明理由。（4）设EF=m，△PEF的面积为S，试用m的代数式表示S。跟踪训练如图，在梯形ABCD中，906DCABAAD∥，°，厘米，4DC厘米，AB=12厘米，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分?（3）连接PQ，设△PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式，求当t为何值时，y有最大值?最大值是多少？31-1图321FEPCBACcDcAcBcQcPc★远辉教育学校春季（八年级·下）培优数学学案我学习，我成长，我收获，我快乐！★课后作业1、如图，四边形ABCD∽四边形A’B’C’D’，则x=_____,y=_____,∠C’=_____.2、如下左图，已知三个边长为2、3、5的正方形按图排列，则图中阴影部分的面积为________.3、某班在布置“五、一”联欢会场时需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如下右图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm.依次裁下宽为1cm的矩形纸条，若裁得的矩形纸条的长度都不小于5cm,则每张直角三角形彩纸裁成的矩形彩条的总条数是（）A24条B25条C26条D27条4、如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE。求证：△ABE∽△ACD5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F。求证：BP²=PE·PF6、如图在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB上一个动点，过P点作PF∥AC交线段BD与点F，作PG⊥AB，交线段ＡD于点Ｅ，交线段ＣＤ于点Ｇ。设BP=x，（1）①试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；②用x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；（2）记△DEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值；（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由。ADCBEGBCDF532ECABPACBEDFy77°83°6117°4718xDABCD'A'B'C'CEDABPGF★远辉教育学校春季（八年级·下）培优数学学案我学习，我成长，我收获，我快乐！★动态题的答案解析：（1）证明两三角形相似，首先从“两角”入手，抓住∠B=∠EPF=30°，发现∠1+∠3=150°，∠2+∠3=150°，∴∠1=∠2，又∠B=∠C，∴△BPE～△CFP.（2）BPE与△CFP还相似（3）如图1-2，明显条件是∠EPF=∠B=30°，无法寻其它等量角由，只有借助PE、PF与BE、BP的比例关系证相似，由（1）△BPE～△CFP得PFPCPEBE,又∵P为BC的中点，即BP=CP∴PFBPPEBE，又∵∠EPF=∠B=30°，∴△BPE～△PFE。（4）方法一：如图1-3，以PF为底，过点E作EH⊥PF的延长线于H点，由（3）得34PFPEmBPPFPEEF即，此时需考虑Rt△PEH的特征，解决高EH的问题，∵∠EPH=30°，∴EH=PFmPE3221,∴S=EHPF21PF21PFm32=3m；方法二：如图1-4，以PE为底，其高需放在相似知识里解决，过点F、P分别作FM⊥EP,PN⊥BA,由△BPE～△PFE得EFPEMFPN(高的比=相似比)。易求NP=23,∴mPEMF32即MF·PE=m32，∴S=mPEMF321。思维感悟：此题以两个三角形为背景，通过旋转变换，由特殊到一般不断探索、运用相似。考查了相似三角形的判定及性质。其中第（3）、（4）问是难点。证明两三角形相似一般是证两角对应相等，但此题第（3）问却不能运用此法，此时我们应想到“两边对应成比例且夹角相等”来证明，而且还有“P为BC的中点”这个条件还未用上，故问题的证明清晰了。第（4）问求三角形的面积，选择底和高是入手处，显然以PE或PF为底相对简单，但底和高均不能求值，此时要运用相似找到底和高的关系式，直接求“底乘高”整体值。FPCEA1-2图FPCBAEH1-3图FPCBAEMN1-4图