第十五章SECTION1积分方程

第十五章积分方程积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。§1积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程一.积分方程一般概念1.积分方程的定义与分类[线形积分方程]在积分号下包含未知函数y(x)的方程()(),dbaxyxFxKxy(1)称为积分方程。式中α(x),F(x)和K(x,ξ)是已知函数，λ,a,b是常数，变量x和ξ可取区间(a,b)内的一切值；K(x,ξ)称为积分方程的核，F(x)称为自由项，λ称为方程的参数。如果K(x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F(x)≡0，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr方程）]第一类Fr方程()()(),dbaKxyFx第二类Fr方程()()()(),dbayxFxKxy第三类Fr方程()()()()(),dbaxyxFxKxy[n维弗雷德霍姆积分方程]111()()()()(),dDPyPFPKPPyPP称为n维弗雷德霍姆积分方程，式中D是n维空间中的区域，P,P1D，它们的坐标分别是(x1,x2,,xn)和),,,(21nxxx,(P)=(x1,x2,,xn),F(P)=F(x1,x2,xn)和K(P,P1)=K(x1,x2,,xn,),,,21nxxx是已知函数，f(P)是未知函数。关于Fr方程的解法，一维和n(1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr方程。[沃尔泰拉积分方程]如果积分上限b改成变动上限，上面三类Fr方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。由于第三类Fr方程当(x)在(a,b)内是正函数时，可以化成()()()()()()()()(),dbaFxKxxyxyxx它是含有未知函数),()(xyx以)()(),(xxK为积分方程的核的第二类Fr方程。所以本章重点研究一维第二类Fr方程。2.积分方程与微分方程之间的关系某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微分方程的初值问题：2200()()()()()dddd,yyAxBxyfxxxyyyy（2）若从方程(2)中解出22ddxy，然后在区间(a,x)上对x求积分两次，利用初始条件，经过简单的计算不难得出*，xayABxAxyd)()]}()()[()({)(000)]()([d)()(yxyyAfxxa令)()]()()[(),(AABxxK和0000)]()([d)()()(yxyyAfxxFx上式就可写为如下的形式:)(d)(),()(xFyxKxyxa(3)这是一个第二类沃尔泰拉方程，核K是x的线性函数。例1初值问题0)0(,1)0()(dd22yyxfyxy(4)变为积分方程xxfxyxxy00d)()(1d)()()((5)反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。在例1中，对(5)式求导，得出xxfyxy00d)(d)(dd(6)再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件y(0)=1,0)0(y对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。例2从问题*在计算过程中应用了公式11()dd()()d(1)!xxxnaaannfxxxxfn（n≥2）当0)()()(1nfff时成立。0)(,0)0(0dd22ayyyxy出发，积分两次，导出关系式Cxyxxyx0d)()()(从此立刻可知条件y(0)=0成立。从第二端点条件y(a)=0决定C：aCaya0d)()(所以有关系式xaxyaaxyxaaxy0d)()(d)()()((7)令xaaxxxaaxK),(),(),(则方程(7)变为ayxKxy0d)(),()((8)这是第二类Fr方程。要从这个积分方程回到微分方程，只需对方程(8)求导两次，就得到)()]()()([dd22xyxyxaxxyaxy在积分方程(7)中，令x=0和x=a,可以直接推出边值条件y(0)=y(a)=0。注意：在这个例中，1°xK在x=ξ处不连续，并当x增加而过ξ时有一跳跃-1。2°K是x的一个线性函数，即满足022xK，且K在端点x=0,x=a处等于零。3°K(x,ξ)=K(ξ,x),即核是对称的。如果利用类似的方法，对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题：0)(,0)0(0dddd22ayyByxyAxy则除A=0外，可得在x=ξ不连续的一个核。二、格林函数及其物理意义[格林函数]在区间[a,b]上，考虑微分方程Ly+Φ(x)=0的边值问题，式中L是微分算子：qxxpxpqxpxLdddddddddd22齐次边界条件为在端点x=a,x=b处，满足0ddxyy，其中α,β为常数。为了得出这个问题解的形式，首先构造函数G,使对一给定数ξ，xxGxxGG),(),(21并且满足条件：(i)函数G1和G2在它们的定义区间上满足LG=0,即当xξ时,LG1=0;当xξ时，LG2=0。(ii)函数G满足边界条件，即G1满足在x=a的边界条件，G2满足在x=b的边界条件。(iii)函数G在x=ξ连续，即G1(ξ)=G2(ξ)。(iv)G的导数以x=ξ为一不连续点，其跳跃是)(1p，即)(1)()(12pGG可以证明，若以ξ为参数的这个函数G存在，则原问题的解有如下的形式：d),()(xGyba(2)例如G(x,ξ)可取xxvuAxvxuAxG),()(1),()(1),((3)式中A是由关系式)()()()()(pAuvvu决定的一个常数，u(x)是Ly=0满足在x=a处所给定的齐次边值条件的一个解，v(x)是在x=b处满足边值条件的一个解。则G(x,ξ)显然满足条件(i)~(iv)。此外，还可证明，对由(3)定义的G(x,),由关系式(2)确定的函数y满足微分方程(1)并且满足u(x)在x=a与v(x)在x=b所规定的相同的齐次边界条件。满足条件（i）~(iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式Ly和边界条件相联系的格林函数。在许多物理问题中，这个函数具有简单的物理意义，将在下一段中说明。[线性积分方程的一个典型实例]考虑一条长为l的有弹性的弦，假定在平衡位置时，弦的位置在Ox轴的线段Ol上。在点x施加单位力，于是弦的每一点得到一个离差，在点处所产生的离差以G(x,)表示（图15.1）。函数G(x,)为两点（x和）函数，在点x施加外力，在点计量离差，称G为影响函数。如果弦的两端固定在x轴上A,B两点，弦的张力为T0,则在点x外处施加的单位力作用下，弦成图15.1所示的形状。根据虎克（Hooke）定律与力的平衡条件，在点处有xlTxlxlTlxxG,)(,)(),(00这就是弦的影响函数。从能量守恒定律可导出G(x,)的互易原理：在点x处施加外力在点处产生的离差等于在点处施加大小相同的力在点x处产生的离差，即G(x,)=G(,x)如果在弦上施加的力F是连续分布的，并设线性强度是p(),则作用于弦上点和+之间的一小弦段的力就接近于p()。把引起弦变形的这些力元素相加，便得弦的形状lpxGxy0d)(),()(1°设在某个力的作用下，弦成已知形状y=y(x),求定力分布强度p(),就得到含未知函数p()的第一类Fr积分方程lpxGy0d)(),((1)2°设作用力随时间t改变，且在点的强度是p()sint(0)则弦的运动是由方程y=y(x)sint描写的周期运动。设()为弦在点的线性密度，则在时刻t,点与+之间的小弦段除受力p()sint的作用外，还受惯性力222d()()()dyytsint的作用，则等式(1)可化为如下的形式：)(d)(),()(0xFyxKxyl(2)式中lpxGxF0d)(),()(K(x,)=G(x,)(),=2如果函数p()给定，那么F(x)也就给定，这样积分方程(2)就是确定函数y(x)的Fr方程。注意，由于F(x)的定义，有F(0)=F(l)=0若密度()=是常数，而F(x)有二阶的连续导数，则方程(2)的解为)(d)()(d)()()(02002xFylTlxylTxlxylxx即)(d)()(d)()()(202xFyllcxyxllcxylxx(3)式中0Tc把(3)式微分两次就得到)()()(2xFxycxy另一方面，可以证明这个微分方程的任一在x=0及x=l处等于0的解是积分方程(2)的解。三、具有可分离核（退化核）的Fr方程[可分离核（退化核）]若核K(x,)可分解为如下的形式：nkkkgxfxK1)()(),(则称K(x,)为可分离核或称为退化核。不妨假定n个函数fk(x)(k=1,2,,n)在有关区间上是线性无关的。例如，如果核是关于x和的任一多项式，那么这个核就是退化核，核sin(x+)也是退化核。[具有可分离核的第二类Fr方程解法]具有可分离核的第二类Fr方程)(d)(),()(xFyxKxyba(1)即)(]d)()()[()(1xFygxfxynkbakk(2)的解法如下，首先设bakkxxyxgcd)()((k=1,2,,n)则nkkkxfcxFxy1)()()(于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数c1,c2,,cn。再用gi乘(2)式两边且积分，令bajiijxxfxgad)()(，baiixxFxgbd)()(（i=1,2,,n,j=1,2,,n）则c1,c2,,cn满足方程组injjijibcac1（i=1,2,,n）即nnnnnnnnnnbcacacabcacacabcacaca)1()1()1(22112222212111212111（3）矩阵形式为（IA）c=b式中I为n阶单位矩阵，A=(aij),c=(c1,c2,,cn),b=(b1,b2,,bn)。这个方程组存在唯一解的充分必要条件是：方程的系数行列式=det（IA）0如果F(x)0,则bi=0(i=1,2,n)，那末方程(3)为齐次方程组。因此,当0时，y(x)0是积分方程(1)的平凡解（零解），且是唯一解。当=0时，至少有一个ci可以任意指定，其余的cj可以求出，于是积分方程(1)存在无穷多个解。