第十五章虚位移原理

第十五（1）章虚位移原理虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。本书只介绍虚位移原理的工程应用，而不按分析力学的体系追求其完整性和严密性。§15-1约束·虚位移·虚功1．约束及其分类在第一章，我们将限制物体位移的周围物体称为该物体的约束。为研究上的方便，现将约束定义为：限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。我们从不同的角度对约束分类如下。（1）几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图15-1所示单摆，其中质点M可绕固定点O在平面Oxy内摆动，摆长为l。这时摆杆对质点的限制条件是：质点M必须在以点O为圆心、以l为半径的圆周上运动。若以x，y表示质点的坐标，则其约束方程为222lyx。又如，质点M在图15-2所示固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点M的约束方程，即0,,zyxf又例如，在图15-3所示曲柄连杆机构中，连杆AB所受约束有：点A只能作以点O为圆心，以r为半径的圆周运动；点B与点A间的距离始终保持为杆长l；点B始终沿滑道作直线运动。这三个条件以约束方程表示为0222222BABABAAylyyxxryx上述例子中各约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。例如，图5-4所示车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮除了受到限制其轮心A始终与地面保持距离为r的几何约束ryA外，还受到只滚不滑的运动学的限制，即每一瞬时有0rvA上述约束就是运动约束，该方程即为约束方程。设Ax和分别为点A的坐标和车轮的转角，有,AAxv。则上式又可改写为0rxA（2）定常约束和非定常约束图形15-5为一摆长l随时间变化的单摆，图中重物M由一根穿过固定圆环O的细绳系住。设摆长在开始时为l0，然后以不变的速度v拉动细绳的另一端，此时单摆的约束方程为2022vtlyx由上式可见，约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。不随时间变化的约束称为定常约束，在定常约束的约束方程中不显含时间t，图15-1所示单摆的约束是定常约束。（3）其他分类如果约束方程中包含坐标对时间的导数（如运动约束），而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。非完整约束方程总是微分方程的形式。反之，如果约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。例如，在上述车轮沿直线轨道作纯滚动的例子中，其运动约束方程0rxA虽是微分方程的形式，但它可以积分为有限形式，所以仍是完整约束。完整约束方程的一般形式为sjtzyxzyxfnnnj,,2,10;,,,,,,111式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。在前述单摆的例子中，摆杆是一刚性杆，它限制质点沿杆的拉伸方向的位移，又限制质点沿杆的压缩方向的位移，这类约束称为双侧约束（或称为固执约束），双侧约束的约束方程是等式。若单摆是用绳子系住的，则绳子不能限制质点沿绳子缩短方向的位移，这类约束称为单侧约束（或称为非固执约束），单侧约束的约束方程是不等式。例如，单侧约束的单摆，其约束方程为222lyx本章只讨论定常的双侧几何约束，其约束方程的一般形式为sjzyxzyxfnnnj,,2,10,,,,,,111式中n为质点系的质点数，s为约束的方程数。2．虚位移在静止平衡问题中，质点系中各个质点都不动。我们设想在约束允许的条件下，给某质点一个任意的、极其微小的位移。例如在图15-2中，可设想质点M在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移r。在图15-3中，可设想曲柄在平衡位置上转过任一极小角，这时点A沿圆弧切线方向有相应的位移Ar，点B沿导轨方向有相应的位移Br。上述两例中的位移r，，Ar，Br都是约束允许的、可能实现的某种假想的极微小的位移。在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。虚位移用符号δ表示，它是变分符号，“变分”包含有无限小“变更”的意思。必须注意，虚位移与实际位移（简称实位移）是不同的概念。实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；而虚位移仅与约束条件有关。因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚位移约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。对于非定常约束，某个瞬时的虚位移是将时间固定后，约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以这时实位移不一事实上是虚位移中的一个。对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例如,,,ddxdr等。3．虚功力在虚位移中作的功称为虚功。如图15-3中，按图示的虚位移，为F的虚功为BrF，是负功；力偶M的虚功为M，是正功。力F在虚位移r上作的虚功一般以rFW表示，本书中的虚功与实位移中的元功虽然采用同一符号W，但它们之间是有本质区别的。因为虚位移只是假想的，不是真实发生的，因而虚功也是假想的，是虚的，图15-3中的机构处于静止平衡状态，显然任何力都没作实功，但力可以作虚功。4．理想约束如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。若以iNF表示作用在某质点i上的约束力，ir表示该质点的虚位移，iNW表示该约束反力在虚位移中所作的功，则理想约束可以用数学公式表示为0iiNiNNrFWW在动能定理一章已分析过光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束为理想约束，现从虚位移原理的角度看，这些约束也为理想约束。§15-2虚位移原理设有一质点系处于静止平衡状态，取质点系中任一质点mi，如图15-6所示，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束力的合力为FNi。因为质点系处于平衡状态，则这个质点也处于平衡状态，因此有Fi＋FNi＝0若给质点系以某种虚位移，其中质点mi的虚位移为ir，则作用在质点mi上的Fi和FNi的虚功的和为Fi·ir＋FNi·ir＝0对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的等式。将这些等式相加，得∑Fi·ir＋∑FNi·ir＝0如果质点系具有理想约束，则约束力在虚位移中所作虚功的和为零，即∑FNi·ir=0，代入上式得∑Fi·ir＝0（15-1）用iFW代表作用在质点mi上的主动力的虚功，由于iFW＝Fi·ir，则上式可以写为iFW＝0（15-2）可以证明，上式不仅是质点系平衡的必要条件，也是充分条件。因此可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零。上述结论称为虚位移原理，又称为虚功原理，式（15-1）、（15-2）又称为虚功方程。式（15-1）也可写成理解析表达式，即0iziiyiixizFyFxF（15-3）式中ziyixiFFF,,;iiizyx,,为虚位移ir在直角坐标轴上的投影。以上证明了虚位移原理的必要性，即：若质点系平衡则式（15-1）必定成立。应该指出，式（15-1）也是质点系平衡的充分条件，即：在满足式（15-1）的条件下，质点系必保持平衡状态，下面采用反证法证明虚位移原理的充分性。如果质点系受力作用而处于非静止平衡状态，则此质点系在初始静止状态下，经过dt时间，必有某些质点由静止而发生运动，而且其位移应沿该质点所受合力的方向。设该质点主动力的合力为Fi，约束力的合力为FNi。当约束条件不随时间而变化时，真实发生的小位移也应满足该质点的约束条件，是可能实现的虚位移之一，记为ir，则必有不等式。iiNirFF＞0质点系中发生运动的质点上作用力的虚功都大于零，而保持静止的质点上作用力的虚功等于零，因而全部虚功相加仍为不等式，即iiNirFF＞0理想约束下，有iiNrF＝0由此得出iirF＞0这与式（15-1）是矛盾的。由上得证：满足式（15-1）条件之下，质点系必定保持静止平衡状态，这就是虚位移原理的充分性。应该指出，虽然应用虚位移原理的条件是质点系应具有理想约束，但也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当作主动力，在虚功方程中计入摩擦力所作的虚功即可。例15-1如图15-7所示，在螺旋压榨机的手柄AB上,作用一在水平面内的力偶(F，F′),其力偶矩M=2Fl，螺杆的螺距为h。求机构平衡时加在被压榨物体上的力。解：研究以手柄、螺杆和压板组成的平衡系统。若忽略螺杆和螺母间的摩擦，则约束是理想的。作用于平衡系统上的主动力为：作用于手柄上的力偶(F，F′)，被压物体对压板的阻力FN。计算所有主动力在虚位移中所作虚功的和，列出虚功方程02FlSFWNF由机构的传动关系知：对于单头螺纹，手柄AB转一周，螺杆上升或下降一个螺距h，故有22hs，hs即将上述虚位移δs与的关系式代入虚功方程中，得022hFFlWNF因是任意的，故022hFFlN解得FhlFN4作用于被压榨物体上的力与此力等值反向。第一类问题,求主动力之间的关系*例题图示机构中,已知OA=AB=l,∠AOB＝θ,如不计各构件的重量和摩擦,求在图示位置平衡时主动力FA与FB之间的关系。解1：以系统为研究对象,受的主动力有FA、FB。给系统一组虚位移如图。FAFBOBABrAr代入得由于drA≠0,于是得亦可由速度投影定理求虚位移之间的关系：由速度投影定理例15-2图15-8a中所示结构，各杆自重不计，在G点作用一铅直向上的力F，AC=CE=CD=DG=GE=l。求支座B的水平约束力。解：此题涉及的是一个结构，无论如何假想产生虚位移，结构都不允许。为求B处水平约束力，需把B处水平约束解除，由虚位移原理得δ2sin2sinδBBAArvBClrvAClAB作平面运动,瞬心在C*点,则δcosδ0AABBFrFrδcosδ0AABBFrFrδ2sinδBArr(cos2sin)δ0ABAFFr2tanABFF2sincosABvvδ2sinδBBAArvrv以力FBx代替，把此力当作主动力，则结构变成图15-8b所示的机构，此时就可以假想产生虚位移，用虚位移原理求解。用解析法。建坐标系如图，列虚功方程00GBBxFyFxFW写出点B的坐标xB与点G的坐标yGsin3cos2lylxGB其变分为cos3sin2lylxGB将GByx,代入虚功方程，得0cos3sin2lFlFBx解得cot23FFBx此题如果在C，G两点之间连接一自重不计、刚度系数为k的弹簧，如图15-9a所示。在图示位置弹簧已有伸长量0，其他条件不变，仍求支座B的水平约束力。则仍需解除B处水平方向约束，去掉弹簧，均代之以力，如图15-9b所示。在图示位置，弹簧有伸长量0，所以弹性力0kFFGC。仍用解析法，列虚功方程00GGGCCBBxFyFyFyFxFW而sin3sincos2lylylxGcB其变分为cos3cossin2lylylxGCB代入虚功方程，得0cos3cossin200lklklFBx解得cotcot230kFFBx第二类问题,求系统的平衡位置实例图示平面机构,两杆长度相等。在B点挂有重W的重物。D、E两点用弹簧连接。已知弹簧原长为l,弹