第十八章隐函数定理及其应用

第十八章隐函数定理及其应用一、证明题1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当时,有2.设tgxyu,xsinyv.证明:当2x0,y0时,u,v可以用来作为曲线坐标;解出x,y作为u,v的函数;画出xy平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算y,xv,u和v,uy,x并验证它们互为倒数.3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标,,r的形式:2221zuyuxuu,2222222zuyuxuu.4.证明对任意常数ρ,,球面2222zyx与锥面2222ztgyx是正交的.5.试证明:函数y,xF在点000y,xP的梯度恰好是F的等值线在点P0的法向量(设F有连续一阶偏导数).6.证明:在n个正数的和为定值条件x1+x2+x3+…+xn=a下,这n个正数的乘积x1x2x3…xn的最大值为nnha.并由此结果推出n个正数的几何中值不大于算术中值.nn21xxxnxxxn21二、计算题1．方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或.2.方程在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数.3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数:(1)x+y+z=,求Z对x,y的一阶与二阶偏导数;(2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求,和.4.设f是一元函数,试问应对f提出什么条件,方程2f(xy)=f(x)+f(x)在点(1,1)的邻域内就能确定出唯一的y为x的函数?1.试讨论方程组2zyx2zyx22y在点(1,－1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组.5.求下列方程组所确定的隐函数组的导数:(1)axyxazyx222222,求xy,xz;(2)0xuvy0yvux2222,求xu,xv,yu,yv.(3)yv,xugvyv.uxfu2,求xu,xv.6.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:(1),vcosuey,vsinuexuu求yxyxv,v,u,u;(2)3322vuzvuy,vux,求xz.7.设函数z=z(x,y)由方程组vuex,vuey,uvz(u,v为参量)所定义的函数,求当u=0,v=0时的dz.8.设u,v为新的自变量变换下列方程:(1)0yzyxxzyx,设22yxlnu,xyarctgv;(2)0yzyxzx222222,设xyu,yxv.9.设函数u=u(x,y)由方程组u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0所确定,求xu和yu.10.设2rxu,2ryv,2rzw,其中222zyxr,(1)试求以u,v,w为自变量的反函数组;(2)计算z,y,xw,v,u.11.求平面曲线323232ayx0a上任何一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.12.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:(1)tsinax2,tcossinby,tcoscz2在点4t;(2)9zy3x2222.222yx3z,在点(1,－1,2).13.求下列曲线在所示点处的切平面与切线:(1)0eyzx2,在点(1,1,2);(2)1czbyax222222,在点(3a,3b3c).14.求曲面上过点21z3y2x222的切平面,使它平行于平面0z6y4x.15.在曲线x=t,2ty,3tz上求出一点,使曲线在此点处的切线平行于平面x+2y+z=4.16.求函数222zyxxu在点M(1,2,－2)处沿曲线x=t,2t2y,4t2z在该点切线方向上的方向导数.17.确定正数λ,使曲面xyz与椭球面2222byax1cz22在某一点相切.18.求曲面xzyx222的切平面,使其垂直于平面2z21yx和2zyx.19.求两曲面F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0的交线在xy平面上的投影曲线的切线方程.20.应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值:(1)f(x,y)=22yx,若x+y-1=0(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c4(其中x,y,z,t0,c0);(3)f(x,y,z)=xyz,若222zyx=1,x+y+z=0.21.(1)求表面积一定而体积最大的长方体.(2)求体积一定而表面积最小的长方体.22.(1)求空间一点000z,y,x到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.(2)求原点到二平面1111dzcybxa,ybxa2222dzc的交线的最短距离.23.设a1,a2,…,an为已知的n个正数,求n21x,,x,xf=n1kkkxa在限制条件1xxx2n2221下的最大值.24.求函数n21x,,x,xf=2n2221xxx在条件n1kkk1xa,n,,2,1k,0ak下的最小值.三、考研复习题1.方程222x1xy=0在那些点的邻域内可唯一地确定连续可导的隐函数y=xf?2.设函数f(x)在区间(a,b)内连续,函数y在区间(c,d)内连续,而0y.问在怎样的条件下,方程xfy能确定函数y=xf1.并研究例子:(Ⅰ)siny+shy=x;(Ⅱ)xsine2y.3.设f(x,y,z)=0,z=g(x,y),试求dxdy,dxdz.4.已知G1(x,y,z),G2(x,y,z),f(x,y)都是可微的,gi(x,y)=Gi(x,y,f(x,y)),(i=1,2)证明:y,xg,g21=2z2y2x1z1y1xyxGGGGGG1f,f.5.设x=f(u,v,w),y=g(u,v,w),z=h(u,v,w).求xu,yu,zu.6.试求下列方程所确定的函数的偏导数xu,yu:(1)x2+u2=f(x,u)+g(x,y,u)(2)u=f(x+u,yu)7.据理说明:在点(0,1)近傍是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y).满足f(0,1)=1,g(0,1)=－1,且3y,xf+xg(x,y)-y=0,3y,xg+yf(x,y)-x=0.8.设0000u,z,y,x满足方程组uFzfyfxfuGzgygxguHzhyhxh这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点邻域内确定x,y,z作为u的函数的充分条件;(2)在f(x)=x.,g(x)=x2,h(x)=x3的情形下,上述条件相当于什么?9.求下列由方程所确定的陷函数的极值:(1)1y2xy2x22(2)222222yxayx,(a0)10.设f=F(x)和一组函数v,ux,v,uy,那么由方程v,uFv,u可以确定函数v=v(u).试用u,v，dudv，22duvd表示dxdy，22dxyd.11.试证明:二次型z,y,xf=Fxy2Ezx2Dyz2CzByAx222在单位球面1zyx222上的最大值和最小值恰好是矩阵CDEDBFEFA的最大特征值和最小特征值.12.设n为自然数,0y,x,用条件极值方法证明:2yxnn2yxn13.求出椭球22ax+22by+22cz=1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.14.设0000z,y,xP是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点,F在U(p0)可微,且为n次齐次函数.证明:此曲面在P0处的切平面方程为0xPXF+0yPyF+0zPZF=n.