第十六章二次根式复习学案正式版111

第十六章二次根式复习学案知识要点一：二次根式的概念（一）二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当时，才有意义．例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_________（填序号）．练习1下列各式中，一定是二次根式的是（）A、aB、10C、1aD、21a2、在a、2ab、1x、21x、3中是二次根式的个数有______个例2若式子13x有意义，则x的取值范围是．练习1、使代数式43xx有意义的x的取值范围是2、使代数式221xx有意义的x的取值范围是3、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在第象限例3若y=5x+x5+2009，则x+y=练习1、若11xx2()xy，则x－y的值为2、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值3、当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。（二）二次根式的整数部分和小数部分1.已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求12ab的值。2.若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3。3.若17的整数部分为x，小数部分为y，求yx12的值.知识要点二：二次根式的性质1.非负性：aa()0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，根式运算中经常用到．2.()()aaa20注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa()()203.aaaaaa200||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．（一）二次根式的双重非负性【例4】若22340abc，则cba．练习1、若0)1(32nm，则mn的值为。2、已知yx,为实数，且02312yx，则yx的值为3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋652yy＝0，则第三边长为＿＿4、若1ab与24ab互为相反数，则2005_____________ab。（二）二次根式的性质2（公式)0()(2aaa的运用）例5化简：21(3)aa的结果为练习：1.在实数范围内分解因式:23x=；4244mm=429__________,222__________xxx2已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为(三)二次根式的性质3（公式)0a(a)0a(aaa2的应用）例6已知2x,则化简244xx的结果是练习1、根式2(3)的值是2、已知a0，那么│2a－2a│可化简为3、若23a，则2223aa=5、化简2244123xxx=4、若a－3＜0，化简aaa4962的结果是5、当a＜l且a≠0时，化简aaaa2212＝．例7如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+2()ab的结果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a练习：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______aa．例8化简21816xxx的结果是2x-5，则x的取值范围是练习：若代数式22(2)(4)aa的值是常数2，则a的取值范围是例9如果11a2aa2，那么a的取值范围是练习1、如果2693aaa成立，那么实数a的取值范围是（）2、若03)3(2xx，则x的取值范围是）（A）3x（B）3x（C）3x（D）3x例10化简22aaa的结果是1.把二次根式aa1化简，正确的结果是2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，xxb＝；aa11)1(＝。知识点三：最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、可合并根式（同类二次根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。例11在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（）1、把下列各式化为最简二次根式：(1)12(2)ba245(3)xyx2例12下列根式中能与3是合并的是()A.8B.27C.25D.21练习1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（A、318和B、133和C、22abab和D、11aa和3、如果最简二次根式83a与a217能够合并为一个二次根式,则a=__________.知识点四：二次根式计算——结果必须化成最简二次根式或有理式。①单项二次根式：用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与例13化简下列各式（1）148（2）4337（3）11212（4）13550例14把下列各式化简（1）328xxy（2）2ab（3）38xx（4）2525abba例15化简（1）221（2）5353（3）333223练习1、已知2323x，2323y，求下列各式的值：（1）xyxy（2）223xxyy2、化简：（1）ababab知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除1．二次根式的乘法a·b＝．（a0，b0）反过来ab=（a0，b0）2．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。ab=（a≥0，b0）反过来ab=（a≥0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．例16化简(1)916(3)1525(4)229xy(0,0yx)(5)12×632（1）（2）（3）（4）例17化简：(1)364(2)22649ba(3)2964xy(4)25169xy(5)123(6)31281012aoba(7)11416（8）648（5）（6）（7）（8）例18能使等式22xxxx成立的的x的取值范围是（）知识点六：二次根式计算——二次根式的加减先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。（注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式合并．）例20计算（1）11327520.53227；（2）12543102024553457；（3）11113275348532（4）113326327284814723247例21（1）224344xyxyxyxy（3）3213273108334aaaaaaa（4）1142aabbab（5）3538154aaaaa（6）2xyyxxyyxxy知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、在有些运算中也许可以约分，不要盲目化简；典型习题1、abbaabb3)23(2352、22(212+418－348)3、132xy·（-42yx）÷162xy4、673)32272(5、62332)(62332(）6、)54)(54()523(27、1110)562()562(8、)0()122510(9312mmmmmmm例211．已知：，求的值．2．已知：，求的值．5．已知、是实数，且，求的值．知识点八：根式比较大小知识要点1、根式变形法当0,0ab时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。2、平方法当0,0ab时，①如果22ab，则ab；②如果22ab，则ab。3、倒数法4、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。5、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0abab；②0abab6、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：①1aabb；②1aabb例22比较35与53的大小。例23比较231与121的大小。【例24】比较1514与1413的大小。