第十六章气体分子动理论

伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程第十六章气体分子动理论◆本章学习目标本章以气体为研究对象，从气体分子热运动观点出发，运用统计方法来研究大量气体分子的热运动规律，并对理想气体的热学性质给予微观说明。◆本章教学内容1．物质的微观模型；2．理想气体的压强和温度的微观本质；3．能量均分定理；4．麦克斯韦气体分子速率分布率；5．分子平均自由程，碰撞次数；6．非平衡态下气体内的迁移现象。◆本章教学重点平衡态，理想气体压强公式及分子平均平动动能，麦克斯韦分布函数，平均速率，方均根速率，最概然速率，自由度，能量均分定理，碰撞截面，平均碰撞频率，平均自由程。◆本章教学难点理想气体压强公式、速率分布函数。◆本章学习方法建议及参考资料1．热学是大学物理重要的一部分，在学习分子动理论时要特别强调由大量分子构成的系统所遵从的统计规律的特点，培养学生的辩证思维。2．在本课程的教学过程中，应针对大学新生普遍对大学的教法不适应，且自学能力较差等情况，对学生进行学习方法的指导，培养学生的自学能力。3．为了培养学生分析问题和解决问题的能力，本课程应讲解适当的例题和安排一定的习题课，使学生学会正确地运用所学知识解决实际问题，同时要布置适量的习题和思考题，引导学生深入钻研物理概念，牢固掌握基础知识。伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程4．充分利用多媒体教学手段，注意在教学过程中使用电子教案与黑板的结合，并在课堂教学中注重启发式教学，组织课堂讨论、课堂提问等。主要参考资料1.《物理学》，马文蔚等编，高等教育出版社，20022.《热学》，李椿等编，高等教育出版社，19903.《新概念物理教程·热学》，赵凯华等编，高等教育出版社，19983.《〈普通物理学教程·热学〉（第二版）习题思考题解题指导》,秦允豪编,高等教育出版社,2004伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程§16.1气体的状态参量平衡态一、分子运动理论的基本概念1．物质是由分子（或原子）组成的。2．分子在不停地做无规则运动，剧烈程度与温度有关。3．分子间有相互作用力。综上所述，宏观物体是由大量分子或原子组成的，分子间有间隙，所有分子都处在不停的无规则运动中，并且分子间有相互作用力，此即宏观物体的微观模型。二、状态参量对一定量的给定气体的状态，常用气体的体积V，压强P，温度T三个物理量描述。把这三个标志气体状态的物理量叫状态参量。1．体积V：气体分子所能达到的空间2．压强P：气体分子施予器壁单位面积上的垂直压力3．温度T：宏观上表征物体冷热程度，微观上反映大量分子热运动激烈程度。三、平衡态热力学中，把包含大量分子的物体称为热力学系统，处于系统外与系统的状态直接相关的一切环境称外界，一个热力学系统在无外界影响的条件下，经过足够长的时间后系统的宏观状态不再随时间变化，此时的状态称平衡态。应当指出平衡态是指系统的宏观性质不随时间变化的状态。从微观方面看，组成系统的分子的热运动并未停止，只是分子运动的平均效果不随时间改变，因此，热力学中的平衡是动态平衡，通常把这种平衡叫热动平衡。四、理想气体状态方程处于平衡态下的一定量的气体，温度T，压强P，体积V这三个状态参量中任一参量发生变化时，其他两个参量也将随之变化，即f(P,V,T)=0伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程此称物态方程。1834年克拉珀龙把玻—马定律、盖.吕萨克定律、查理定律用统一形式表示为222111VVPTVP在标准状态下atmP10，T=273.15k，33104.22mVRTVPTPV000对于质量为Mkg，摩尔质量为kg的理想气体状态方程应为RTMPV伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程§16.2理想气体压强一、理想气体的微观模型1．分子间本身线度与分子间平均距离相比可忽略，因此分子可看成质点。2．除碰撞一瞬间外，分子间无相互作用。3．分子间及分子与器壁间碰撞是完全弹性碰撞。二、理想气体的压强公式1．统计假设A．在平衡态下，对大量作无规则运动分子而言，平均向各个方向运动分子数相等B．在平衡态下，气体性质与方向无关，因此对大量分子而言，三个速度分量的各种统计平均值都相等C．就统计效果而言，分子与器壁碰前动量不变D．器壁是光滑的，分子碰撞时入射角等于反射角2．压强公式推导容器中气体在宏观上施予器壁的压强是大量分子对器壁不断碰撞的结果，就某分子而言，对器壁的碰撞是断续的，偶然的，但对大量分子整体而言，每一时刻都有许多分子与器壁相碰，所以宏观上表现出恒定，持续压力。设任意一形状容器贮有一定量理想气体，体积V，含N个分子，单位体积内分子数VNn。每个分子的质量为m，把分子分成若干组。认为每组内分子速度相等。并假设单位体积内各组分子数为innnn,,,321，则inn。平衡态下器壁各处压强相等，所以取直角坐标系x,y,z，垂直于x轴方向，取一小块面积dA。A．单个分子在一次碰撞时对dA的作用设某一分子与dA相碰速度iV，分量分别为iziyixVVV,,，故分子在碰撞过程中动量改变为ixixixmVmVmV2伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程B．dt时间内所有分子施于器壁dA总冲量在全部速度iV的分子中，dt时间内与dA碰撞的只有位于dA为底，dtVix为高，iV为斜线的柱体部分，因此速度为iV的一组分子在dt时间施于dA总冲量为dtdAmVnixi22将此结果对所有可能速度求和就得到所有分子施于dA的总冲量dI,但求和必须限制在0ixV范围内。因此dAdtnimVdIixvix022dAdtmVnixi2故2ixiVnmdtdAdIp2xVnm用统计假设222ZYXVVV231V故231Vnmp或nVmnp32)21(322伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程§16.3气体分子平均平动动能一、温度公式由理想气体压强公式及状态方程可以导出气体的温度与分子平均平动动能关系。从而阐明温度这一概念的微观实质np32及RTMpV消去pVRTMn123TNRA23R，AN均为常数。令ANRK（亦为常数）上式可写为KT23可见处于平衡态时分子的平均平动动能只与温度有关并与热力学温度成正比，温度是物体内部分子无规则运动剧烈程度的量度。温度越高表示物体内部分子热运动越剧烈，可见，上式阐述了温度的微观意义。二、重力场中的粒子分布前面讨论的是不受外力作用时理想气体分子的分布情况，有外力作用时情况就不同了，下面首先导出大气压随高度变化，进而导出大气密度随高度变化。在重力场中取一铅直空气柱，设地球表面y=0，y轴竖直向上，显然有dp=gdy其中kTmp令0y处0pp积分上式伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程KTmgyePp0利用nKTp得KTmgyenn0可见，重力场中气体分子数密度n随高度增大按指数规律衰减，m越大衰减越迅速，T越大，减小越缓慢。伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程§16.4能量均分定律一、自由度一般概念自由度：确定物体在空间位置的独立坐标的数目。不受任何约束的自由质点的自由度为3，多一个约束自由度减少一个。二、刚体的自由度自由刚体的自由度为6，其中3个平动（确立质心坐标），3个转动（2个确定转轴，1个确定转过角度），定轴转动刚体自由度为1。三、分子自由度1．单原子分子相当于自由质点，故自由度为32．双原子分子刚性双原子分子：3个独立坐标确定质心，2个独立坐标确定连线位置，共5个自由度。非刚性双原子分子：3个独立坐标确定质心，2个独立坐标确定连线位置，1个确定相对位置，共6个自由度。3．三原子分子刚性三原子分子：相当于自由刚体，自由度为6。非刚性三原子分子：自由度为9，3个平动，3个转动，3个振动。因此n个原子组成的分子，最多有3n个自由度。3个转动，3个平动，3n-6个振动。四、能量均分定理由于KTvm23212故KTvvvmzyx23)(21222KTvvmvmzyx21212121222伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程可见分子在每一平动自由度上具有相同的平均动能KT21，这个结论推广到转动、振动即得能量均分定律，在温度T的平衡态下，分子的每一自由度均有相同平均动能，大小等于KT21，因此，某分子有t个平动自由度，r个转动自由度，s个振动自由度，则分子平均平动动能、平均转动动能、平均振动动能分别为sKTrKTtKT21,21,21，分子总动能为KTsrt)2(21，简谐振动在一个周期内平均动能、势能相等。分子振动看成简谐振动，分子除具有KT21平均动能还具有KT21平均势能，因此分子总能量为KTsrt)2(21五、理想气体内能理想气体分子无相互作用，所以内能仅是分子各种形式动能、势能总和，Mg理想气体内能为KTsrtNMEA)2(21RTsrtM)2(21而1mol理想气体内能RTsrtE)2(211．对单原子分子RTE232．双原子分子刚性RTE25非刚性RTE573．多原子刚性RTRTE326非刚性RTsrtE)2(21由上可见，理想气体的内能仅决定于分子自由度及气体温度，而与气体压强及体积无关。伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程§16.5麦克斯韦分子速率分布率一、速率分布函数及速率分布曲线平衡态下一定量气体的分子总数为N，其中速率在V→V+dV区间的分子数为△N，当△V→0时VNN变成V的连续函数，用f(V)表示，称之为速率分布函数，即dVvfNdN)(式中NdVdVvf)()(vf为气体分子的速率分布函数，它表示在速率V附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数比率，而dVvf)(表示dVVV内分子数比率。显然有1)(0dVvf速率分布函数是速率分布问题核心，知道)(vf可求出任意速率间隔内比率及有关量的平均值，而以V为横轴，)(vf为纵轴描绘的曲线称速率分布曲线。二、麦克斯韦速率分布1860年麦克斯韦首先从理论上得到，平衡态下当分子间的相互作用可忽略时，分布在任一速率间隔dVVV内的分子比率为dVVeKTmNdNKTmv22232)2(4速率分布函数22232)2(4)(VeKTmVfKTmv三、三种统计速率1．最可几速率A．定义：)(Vf有一极值，此极值对应速率为最可几速率B．意义：温度一定时，在该速率附近单位速率间隔内分子数比率最大。由极值条件0)(dVVdf易得伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程mKTVP22．平均速率大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率，其值为mKTdVVVfNdNVNNVVii8)(03．方均根速率气体分子速率的平方的平均值再开平方叫做气体分子的方均根速率，其值为mKTdVVfVNdNVV3)(0222mKTV32由上式可看出各种速率大小顺序为41.1:60.1:73.1::2PVVV以上三种速率各有不同用处，例在讨论分子速率分布时用最可几速率，在讨论气体输运时用平均速率，讨论气体压强时用方均根速率。伊犁师范学院物理与电子信息学院《大学物理学》精品课程§16.6分子平均碰撞次数与平均自由程一、分子间的碰撞与无引力弹性刚体模型气体分子平均速率每秒几百米，这样气体中的一切过程应在瞬间完成，但并非如此，因为分子在运动过程中不断与其它分子发生碰撞，这样使分子沿迂回的折线运动。碰撞对输运过程很重要。因此引入无引力弹性刚体模型如下：rd0PEdr10PE即当两个分子距离较大时无相互作用分子匀速运动，当两者质心减小到一定距离时，突然出现无穷大斥力，阻止分子接近，使分子运动改变方向。气体分子系统是一复杂系统，把两分子间相互作用看成无引力的弹性刚体间碰撞，就是为简化，这种模型与理想气体模型一样忽略引力作用。二、分子平均碰撞频率1．定义：单位时间内任一分