第十六讲抽样分布及矩估计

第十六讲抽样分布及矩估计1.正态总体的样本均值与样本方差的分布例1设总体X(不管X服从什么分布，只要均值与方差存在)的均值为，方差为2，nXXX,,,21是来自X的一个样本，X，2S是样本均值和样本方差，试证明：（1）)(XE，./)(2nXD（2）22)(SE.证明：niiniiXEnXnEXE11)(11)(nXDnXnDXDniinii2121)(11)(222221221221222)()(11)()()(11)()(1111)(nnnnXnEXEXDnXnEXEnXnXnESEniiiniinii由第四章知niiXnX11也服从正态分布，于是得到以下定理。定理1若（nXXX,,,21）是来自总体2~(,)XN的一个样本，X为样本均值，则~X),(2nN.第六章样本及抽样分布§2抽样分布nXDnXnDXDniinii2121)(11)(对于正态总体2~(,)XN的样本均值X和样本方差2S我们给出以下两个重要定理。定理2设（nXXX,,,21）是来自总体2~(,)XN的样本，X，2S分别是样本均值和样本方差，则有（1）niinXXSn122222)1(~)(1)1(.（2）X与2S相互独立.（该定理不予证明）。定理3设（nXXX,,,21）是来自总体2~(,)XN的样本，X，2S分别是样本均值和样本方差，则有)1(~/)(ntnSXT.证明：由)1,0(~/),(~2NnXnNX，又)1(~)1(222nSn，且X与2S相互独立，则nX与22)1(Sn相互独立，由t分布的定义，所以)1(~)(122)1(ntnSXnnTSnX对两个正态总体的样本均值和样本方差有以下定理。定理4设（mXXX,,,21）是来自总体),(~211NX的一个样本，（),,,21nYYY是来自总体),(~222NY的一个样本，且X与Y相互独立。设miiXmX11，niiYnY11分别是这两个样本的均值，miiXXmS1221)(11；niiYYnS1222)(11分别是这两个样本的样本方差，则有（1）)1,1(~//22212221nmFSS；（2）当22221时，)2(~11)()(21nmtnmSYXw其中，2wwSS，2)1()1(22212nmSnSmSw。证明：（1）由定理2知，22121(1)~(1)mSm，22222(1)~(1)nSn，由于样本（mXXX,,,21）与（),,,21nYYY相互独立，因此，2221,SS相互独立。由F分布的定义，可得)1,1(~)1/()1/(22212122)1()1(22222121nmFSSnmSnSm,（2）由定理1知，),(~21mNX，),(~22nNY，又X与Y相互独立，所以),(~2221nmNYX，即)1,0(~)()(1121NYXUnm；由定理2，)1(~)1(2221mSm，)1(~)1(2222nSn，且它们相互独立，由2分布的可加性，则)2(~)1()1(2222221nmSnSmV。由t分布的定义：)2(~11)()(2)1()1(11)()(2)()()2/(21222121)1()1(1121222nmtnmSYXnmSnSmnmYXnmYXnmVUwSnSmnmnm（课间休息）2.点估计设总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。关于点估计的一般提法：设为总体X分布函数中的未知参数或总体的某些未知的数字特征，,,,(21XX)nX是来自X的一个样本，),,,(21nxxx是相应的一个样本值,点估计问题就是构造一个适当的统计量12ˆ(,,,)nXXX，用其观察值),,,(ˆ21nxxx作为未知参数的近似值，我们称12ˆ(,,,)nXXX为参数的点估计量，),,,(ˆ21nxxx为参数的点估计值，在不至于混淆的情况下，统称为点估计。由于估计量是样本的函数，因此对于不同的样本值，的估计值是不同的。点估计量的求解方法很多，这里主要介绍矩估计法和极大似然估计法，除了这两种方法之外，还有Bayes方法和最小二乘法等。（1）矩估计法：矩估计法的基本思想：用样本矩作为总体矩的估计量，用样本矩的连续函数作为相应总体矩的连续函数的估计量。具体做法：假设),,,(21k为总体X的待估参数（），),,,(21nXXX是来自X的一个样本，),,2,1)((klXEll是总体X第七章参数估计上一章，我们讲了数理统计的基本概念，从这一章开始，我们研究数理统计的重要内容之一即统计推断。所谓统计推断，就是根据从总体中抽取得的一个简单随机样本对总体进行分析和推断。即由样本来推断总体，或者由部分推断总体。——这就是数理统计学的核心内容。它的基本问题包括两大类问题，一类是估计理论；另一类是假设检验。而估计理论又分为参数估计与非参数估计，参数估计又分为点估计和区间估计两种，这里我们主要研究参数估计这一部分数理统计的内容。第一节点估计矩估计法的基本思想：样本来自于总体，从前面可以看到样本矩在一定程度上也反映了总体矩的特征，且在样本容量n增大的条件下，样本的k阶原点矩11nkkiiAXn以概率收敛到总体X的k阶原点矩()kkmEX，即()1,2,pkkAmnk，因而自然想到用样本矩作为总体的前k阶矩，),,2,1(11klXnAnilil是样本nXXX,,,21的前k阶样本矩。由于l（kl,,2,1）是k个未知数k,,,21的函数，即),,,(),,,(),,,(2121222111kkkkk一般来说，可以从中解出k,,,21，即将k,,,21表示为总体矩l（kl,,2,1）的连续函数，即),,,(),,,(),,,(2121222111kkkkk然后用lA（kl,,2,1）作为l（kl,,2,1）的估计量lˆ（kl,,2,1），并将lˆ（kl,,2,1）代入到k,,,21的表达式当中，相应得到k,,,21的估计量k,,,21，即),,2,1(),,,(ˆ21kiAAAkii这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值。该方法称为矩估计法。例１设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从以0为参数的泊松分布，参数为未知。现有以下的样本值，试估计参数。250126225490756543210knkk次着火天数发生着火的次数解：由于)(~X,因此，)(1XE.矩的估计。又XXnAnii111，令11ˆA，则得到参数的矩估计量为XA11ˆˆ，矩估计值为niixnx11ˆ；22.1)162564223542901(2501例２设总体babaUX,],,[~未知，,,(21XX,)nX是来自X的样本，试求ba,的估计量。解：;2)(1baXE22222212)()()()(baabXEXDXE即)(32)(1222122121abba自这一方程组解得)(3)(321212121ba又XXnAnii111,niiXnA1221,令2211ˆ,ˆAA,则)1(3)(3ˆ2122121XXnXAAAanii3312232babaxabdxabxbaba)1(3)(3ˆ2122121XXnXAAAbnii例３设总体X的均值和方差2都存在，且有02.但，2均为未知。又设,,(21XX,)nX是来自X的样本。试求，2的矩估计量。解：,)(1XE22222)()()(XEXDXE联立以上两式解得.,21221又XXnAnii111,niiXnA1221,令2211ˆ,ˆAA,则XA1ˆ，niiniiniiXXnXnXnXXnAA122122122122111ˆ