第十四章偏导数与全微分(学生用)

偏导数与全微分第1页共8页第十四章偏导数与全微分§1.偏导数与全微分的概念1．求下列函数的偏导数：(1)222ln()uxxy；(2)()cos()uxyxy；(3)arctanxuy；(4)sin()xyuxye.2．设2222221sin,0,(,)0,0.yxyxyfxyxy，考察函数在(0,0)点的偏导数.3．证明函数22uxy在(0,0)点连续但偏导数不存在.4．求下列函数的全微分：偏导数与全微分第2页共8页(1)222uxyz；(2)yzxuxeey.5．求下列函数在给定点的全微分：(1)xuy在点(1,1,1)；(2)(1)arcsinxuxyy在点（0，1）.6．证明函数2222222,0,(,)0,0.xyxyfxyxyxy在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。7．证明：函数222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy在点(0,0)处偏导数存在，但不可微.偏导数与全微分第3页共8页8．设,xy很小，利用全微分推出下列式(1)(1)mnxy的近似公式：9．求下列函数指定阶的偏导数：(1)33sinsinuxyyx,求633uxy；(2)ln()uaxby,求mnmnuxy.§2.求复合函数偏导数的链式法则1．求下列函数指定的偏导数：（1）．设(,,),xyz,,,xuvyuvzuv求,uv.（2）设),,22(xyzzyxfz求xz2.求下列函数指定的偏导数（假定所有二阶偏导数都连续）(1)22(,)ufxyxy，22ux；(2)(,)xyufyz,2uxy；偏导数与全微分第4页共8页(3)222()ufxyz,22uy；(4)(,,)xufxyxyy,2uyx.（5）(,)xufxy，22,uuxx.2．设22()yzfxy，其中f是可微函数，验证211zzzxxyyy.3．验证下列各式：(1)22()uxy,则0uuyxxy；(2)()()yyuxxx,则222222220uuuxxyyxxyy.§3.由方程（组）所确定的函数的求导法1．求下列方程所确定的函数(,)zfxy的一阶偏导数：偏导数与全微分第5页共8页(1)20xyxeze；(2)22222450xyzxyz.2．求由下列方程所确定的函数的全微分dz：(1)(,)zfxzzy；(2)222(,)0fxyzxyz.3．设222uxyz，其中(,)zfxy为由方程3333xyzxyz所确定的隐函数，求ux，22ux.4求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数：(1）22222,,xyzaxyax求,dydzdxdx；(2)223,22,uvxyuvxy求,,,uuvvxyxy.§4.空间曲线的切线与法平面1.求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程：偏导数与全微分第6页共8页(1)222222239,3xyzzxy,在点(1,-1,2)；(2)2cos,3sin,1cos3xttytzt,在点2t.2.证明曲线cos,sin,tttxaetyaetzae与锥面222xyz的母线相交成同一角度.§5.曲面的切平面与法线1.求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：(1)20xzye，在点（1,1,2）；(2)2224zxy在点(2,1,12)；(3)cos,sin,xuvyuvzav在点000(,)Puv.偏导数与全微分第7页共8页2.求曲面2222321xyz的切平面，使它平行于平面460xyz.3.证明：曲面(,)0Fxazybz的切平面与某一定直线平行，其中,ab为常数.§6.方向导数和梯度1.设23(,,)fxyzxyz，求f在点0(1,1,1)P沿到点(2,2,1)l的方向导数.2.求函数uxyz在点(5,1,2)A处沿到点(9,4,14)B的方向AB上的方向导数.3.求()0,0xyul：(1)22ln()uxy，00(,)(1,1)xy，l与x轴正向的夹角为60；偏导数与全微分第8页共8页(2)xyuxe,00(,)(1,1)xy,l与向量(1,1)同向.4.设函数(,)fxy在00(,)xy可微，单位向量111(,)22l，211(,)22l，001(,)1fxyl，002(,)0fxyl，确定l使得00(,)752fxyl.§7.泰勒公式1.写出函数22(,)2635fxyxxyyxy在(1,-2)点的泰勒公式.2.求下列函数在(0,0)点邻域的四阶泰勒公式：(1)22(,)sin()fxyxy；(2)(,)ln(1)xfxyey.