第十四章傅里叶级数

第十四章傅里叶级数§1三角级数与傅里叶级数1．证明(1)sinx，sin2x，，sinnx，是[0,]上的正交系；(2)sinx，sin3x，，sin21nx，是[0,]2上的正交系；(3)1，cosx，cos2x，，cosnx，是[0,]上的正交系；(4)1，sinx，sin2x，，sinnx，不是[0,]上的正交系；2．求下列周期为2的函数的傅里叶级数：(1)三角多项式0cossinnniiiPxaixbix；(2)3fxxx；(3)cos2xfx；(4)axfxex；(5)sinfxxx；(6)cosfxxxx；(7),00,0xxfxx；(8)22fxxx；(9)sgncosfxx；(10)022xfxx.3．设()fx以2为周期，在[,]绝对可积，证明：(1)如果函数()fx在[,]满足fxfx，则21210,1,2,mmabm；(2)如果函数()fx在[,]满足fxfx，则220,1,2,mmabm.§2傅里叶级数的收敛性1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性：(1)sin[,]fxxxx；(2)2,[0,]1,[,0)xxfxx；2．由展开式11sin2(1)nnnxxxn，(1)用逐项积分法求2x，3x，4x在(,)中的傅里叶展开式；(2)求级数1411nnn，411nn的和.3．(1)在(,)内，求xfxe的傅里叶展开式；(2)求级数2111nn的和.4．设()fx在[,]上逐段可微，且ff.na，nb为()fx的傅里叶系数，'na，'nb是()fx的导函数'()fx的傅里叶系数，证明：0'0a，'nnanb，'nnbna(n1,2,).5．证明：若三角级数01cossin2nnnaanxbnx中的系数na，nb满足关系33max,nnnanbM，M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.6．设01cossin2nnkkkaTxakxbkx，求证：1sin122sin2nnntTxTxtdtt.7．设()fx以2为周期，在(0,2)上单调递减，且有界，求证：00nbn.8．设()fx以2为周期，在(0,2)上导数'()fx单调上升有界.求证：00nan.9．证明：若()fx在0x点满足阶的利普希茨条件，则()fx在0x点连续.给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.10．设()fx是以2为周期的函数，在[,]绝对可积，又设nSx是()fx的傅里叶级数的前n项部分和01cossin2nnkkkaSxakxbkx，则2022422nnfxtfxtSxDtdt，其中nDt是狄利克雷核.11．设()fx是以2为周期，在,连续，它的傅里叶级数在0x点收敛.求证：00nSxfxn.12．设()fx是以2为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则0fx.13．设()fx是以2为周期，在[,]绝对可积.又设0(,)x满足000lim2tfxtfxtL存在.证明0limnnxL.进一步，若()fx在0x点连续，则00limnnxfx，其中011nnkkxSxn.§3任意区间上的傅里叶级数1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性：(1)在区间0,2l展开,0,()0,2;Axlfxlxl(2)()cos,,22fxxx；(3)(),0,fxxl；(4),01,()1,12,3,23.xxfxxxx2．求下列周期函数的傅里叶级数：(1)()cosfxx；(2)()fxxx.3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数：(1)()sin,0fxxx；(2)1,02,()3,24.xxfxxx4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数：(1)()cos,02xfxx(2)2(),02fxxx.5．把函数2()1fxx在0,1上展开成余弦级数，并推出222116123.6．将函数()fx分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中1,0,21(),,220,.2xfxxx7．应当如何把给定在区间0,2的可积函数延拓到区间,内，使得它在,中对应的傅里叶级数为：(1)211cos21nnfxanx；(2)211sin21nnfxbnx.§4傅里叶级数的平均收敛性1．若()fx,()gx以2为周期，在[,]平方可积，01()cossin2nnnafxanxbnx，01()cossin2nnngxnxnx，则0011()()2nnnnnafxgxdxab.2．设()fx在[0,]l上平方可积，求证：22200121()2lnnfxdxaal，其中02()coslnnxafxdxll.