第十四章稳恒电流的磁场习题解答

第十四章稳恒电流的磁场习题解答（仅作参考）14．1通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强度B。[解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定律：002dd4IrlrB，圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为012dd4IlBa，由于dl=adφ，积分得11dLBB3/200d4Ia038Ia．OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在O点产生的磁场为022dsind4IlBr，由于l=bcot(π-θ)=-bcotθ，所以dl=bdθ/sin2θ；又由于r=b/sin(π-θ)=b/sinθ，可得02sindd4IBb，积分得3/402/2dsind4LIBBb3/400/22(cos)48IIbb同理可得CD段在O点产生的磁场B3=B2．O点总磁感应强度为001233284IIBBBBab．14．6在半径为R=1.0cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=5.0A，如图所示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B=？[解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外．半圆的周长为C=πR，电流线密度为i=I/C=IπR．在半圆上取一线元dl=Rdφ代表无限长直导线的截面，电流元为ICObaDA图14.1lrθIdlIdlCObaDAdI=idl=Idφ/π，在轴线上产生的磁感应强度为002ddd22IIBRR，方向与径向垂直．dB的两个分量为dBx=dBcosφ，dBy=dBsinφ．积分得002200cosdsin022xIIBRR，020sind2yIBR00220(cos)2IIRR．由对称性也可知Bx=0，所以磁感应强度B=By=6.4×10-5(T)，方向沿着y正向．14．8在半径为R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行，盖住半个球面，如图所示．设导线中电流为I，总匝数为N，求球心O处的磁感应强度B=？[解答]四分之一圆的弧长为C=πR/2，单位弧长上线圈匝数为n=N/C=2N/πR．在四分之一圆上取一弧元dl=Rdθ，线圈匝数为dN=ndl=nRdθ，环电流大小为dI=IdN=nIRdθ．环电流的半径为y=Rsinθ，离O点的距离为x=Rcosθ，在O点产生的磁感应强度为22003ddsind22yInIBR20sindNIR，方向沿着x的反方向，积分得O点的磁感应强度为/2200sindNIBR/2000(1cos2)d24NINIRR．xdBydBxdByRo1φIR图14.6dByxRo1θIRO图14.814．11有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径为a，可绕盘心且与盘面垂直的轴转动，设角速度为ω．求圆盘中心o的磁感应强度B。[解答]圆盘面积为S=πa2，面电荷密度为σ=Q/S=Q/πa2．在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为dS=2πrdr，所带的电量为dq=σdS=2πσrdr．薄圆环转动的周期为T=2π/ω，形成的电流元为dI=dq/T=ωσrdr．薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为dB=μ0dI/2r=μ0ωσdr/2，从o到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为B=μ0ωσa/2=μ0ωQ/2πa．如果圆盘带正电，则磁场方向向上．14．13一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R=1.2cm的圆周运动，电子速度v=104m·s-1．求圆轨道内所包围的磁通量是多少？[解答]电子所带的电量为e=1.6×10-19库仑，质量为m=9.1×10-31千克．电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力，即：f=evB=mv2/R，所以B=mv/eR．电子轨道所包围的面积为S=πR2，磁通量为Φ=BS=πmvR/e=2.14×10-9(Wb)．14．17载有电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求I2在电流I1的磁场中所受到的力．[解答]电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方．因此，合力方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍．电流元所受的力的大小为dF=I2dlB，其中dl=Rdθ，B=μ0I1/2πr，而r=Rcosθ，所以向右的分别为dFx=dFcosθ=μ0I1I2dθ/2π，积分得/20120120dd24xIIIIF，电流I2所受的合力大小为F=4Fx=μ0I1I2，方向向右．aωo图14.11BoRv图14.13θrI1oRI2图14.1714．19均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求：（1）O点的磁感应强度B；（2）磁矩pm；（3）若ab，求B0与pm．[解答]（1）直线转动的周期为T=2π/ω，在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为dq=λdr，形成的圆电流元为dI=dq/T=ωλdr/2π，在圆心O点产生的磁感应强度为dB=μ0dI/2r=μ0ωλdr/4πr，整个直线在O点产生磁感应强度为001dln44abaabBrra，如果λ0，B的方向垂直纸面向外．（2）圆电流元包含的面积为S=πr2，形成的磁矩为dpm=SdI=ωλr2dr/2，积分得233d[()]26abmaprraba．如果λ0，pm的方向垂直纸面向外．（3）当ab时，因为00ln(1)(...)44bbBaa，所以04bBa．33[(1)1]6mabpa3223[33()()]62abbbabaaaBAbωoa图14.19