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第1页2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十四章第一节变量与函数【本讲教育信息】一.教学内容：变量与函数1.变量和函数的有关定义.2.如何确定自变量的取值范围，如何确定实际问题的函数关系式，并会求出函数值.3.怎样用描点法画简单函数的图像，函数的三种表示方法.二.知识要点：1.变量与常量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.区别变量与常量的方法就是：看它们在这一“变化过程中”数值是否发生变化.如：以60千米/时的速度匀速行驶的汽车，路程s随时间t而变化，其中__________是不变的，所以是常量，__________和__________都是变化的，所以是变量.2.函数一般地，在某一变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.（1）函数涉及两个变量，不是一个，也不是两个以上.如y＝xz表示的就不是函数关系.（2）对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.如y2＝x，y不是x的函数，而y＝x2，y是x的函数.3.函数值第2页（1）求函数值，实质上就是求代数式的值，就是将自变量的值代入自变量所在的代数式得到的值，如在中，求当x＝1时的函数值？（2）当函数值确定，求相应的自变量的值时，实际上就是解关于自变量的方程.如在y＝2x＋3中，当x为何值时，函数值是5？4.自变量的取值范围（1）使函数关系式有意义.①分母中含有字母的函数式，分母不能为0.如有意义，必须x－2≠0，即x≠2.②偶次方根的被开方数非负.如有意义，必须2x＋1≥0，即.（2）注意问题的实际意义.如在圆周长L＝2πr中r不能为负数，需r≥0.5.描点法画函数图象的一般步骤以画函数y＝（x＞0）的图象为例.（1）列表，如下：x…12346…Y＝…6321.51…（2）描点，如图1.（3）连线，如图2.6.三种表示函数的方法比较第3页表示函数的方法优点缺点解析法简单明了，能准确反映变化关系抽象，有些实际问题不能用此法表达列表法一目了然，使用方便列出的对应值有限，不容易看出函数规律图象法形象直观由图象观察只能得到近似的数量关系三.重点难点：1.重点：函数的一般概念，即变化与对应意义下的函数定义是本讲的重点.2.难点：由于函数概念的含义比较抽象、深刻，往往不能一下子从其定义的文字真正地理解它.突破难点的办法是由具体例子逐步过渡到抽象定义，多分析归纳具体问题，在具体问题中理解定义.【典型例题】例1.常量和变量在研究“某一变化过程中”时是确定的，以s＝vt为例（t为时间，v为速度，s为路程）：①若速度v固定，则常量是__________，变量是__________；②若时间t固定，则常量是__________，变量是__________.分析：①速度v固定，即在这个变化过程中v的取值保持不变，此时s随t的变化而变化，可以取不同的数值，故v为常量，s和t为变量；②t固定，即为常量，此时s和v可以取不同的数值，是变量.解：①v，s、t；②t，s、v评析：确定变量与常量时应具体问题具体分析.例2.已知变量x与y的四种关系：y＝︱x︱，︱y︱＝x，2x2－y＝0，2x－y2＝0其中y是x的函数的有__________个.第4页分析：依函数定义，︱y︱＝x与2x－y2＝0中，x每取一个大于0的值，y都有两个与之对应，例如x＝4时，︱y︱＝4有y＝±4，故y不是x的函数；只有y＝︱x︱和2x2－y＝0中y是x的函数.解：2评析：本题没有指出变量x与y哪个是自变量，哪个是函数，但是由问题“y是x的函数”可判断x是自变量.评析：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.例4.（1）（2007年厦门）已知摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）之间的转换关系是：摄氏温度＝×（华氏温度－32）.若华氏温度是68℉，则摄氏温度是__________℃.（2）（2007年眉山）在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：m1234v0.012.98.0315.1则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）A.v＝2m－2B.v＝m2－1C.v＝3m－3D.v＝m＋1第5页分析：（1）如果设摄氏温度为f，华氏温度为c，则f＝（c－32），当c＝68时，f＝×（68－32）＝20.（2）从表格中很难推算出m与v之间的关系式，可以把它们的每一对值代入四个选项验证.解：（1）20（2）B评析：（1）求函数值，实质上就是将自变量的值代入函数关系式，求代数式的值.（2）有些实际问题不能准确地用函数解析式表示，但可以用一个近似关系式表示.例5.拖拉机开始工作时，油箱中有油30升，每小时耗油5升.（1）写出油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数表达式；（2）求出自变量t的取值范围；（3）画出函数的图像.分析：由于函数图像是函数关系的反映，因此所画的图像要与自变量的取值范围相一致，本题中自变量t的取值范围是0≤t≤6，因此它的图像是直线Q＝－5t＋30上的一部分（即一条线段）.解：（1）所求的函数关系表达式为Q＝－5t＋30；（2）自变量t的取值范围是0≤t≤6；（3）①列表：t0246q3020100②描点、连线，图像如图所示.第6页评析：写函数关系式之前，要认真分析题意，看一个量是如何随另一个量的变化而变化的，找出它们之间的数量关系，然后用含一个量的式子来表示另一个量.在求自变量的取值范围时，要注意自变量的实际意义，而其中应特别关注临界点是否能取到——看实际中是否存在这种情形.例6.（2008年浙江金华）三军受命，我解放军各部队奋力进入抗震救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到小镇只有唯一通道，且路程为24km，如图是他们行走的路线关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4分析：根据题意，过原点的那条曲线是甲队的图象，另一条是乙队的图象.在4.5小时处甲、乙所走过的路程相等，则乙队出发2.5小时后追上的甲队；乙队到达小镇用了6－2＝4小时，平均速度是24÷4＝6km/h；甲队比乙队早出发2小时，他们同时到达的小镇；甲队到达小镇用了6小时，从3小时到4小时，路程没有变化，表示停顿了1小时.解：D评析：函数的图象是一个由点组成的曲线，其中所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围.各点的纵坐标，分别是自变量取值为各横坐标时对应的函数值.【方法总结】学习函数图象时，注意由图象分析函数的变化趋势的学习，由图象分析数量变化规律是研究问题的方法之一.第7页【模拟试题】（答题时间：45分钟）一.选择题1.若一辆汽车以50千米/时的速度匀速行驶，则行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）之间的函数关系式是（）A.s＝50＋50tB.s＝50tC.s＝50－50tD.以上都不对2.下列变量间的关系不是函数关系的是（）A.长方形的宽一定，其长与面积B.正方形的周长与面积C.圆的半径与面积D.等腰三角形的底边长与面积*3.如图所示的程序，若输入的x的值为－，则输出的y的值为（）4.（2008年广西桂林）2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）第8页*5.（2007年盐城）如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水.在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景的是（）**6.学校春季运动会期间，负责发放奖品的张也同学，在发放运动鞋（奖品）时，对运动鞋的鞋码统计如下表：新鞋码（y）225245…280原鞋码（x）3539…46如果获奖运动员李伟领取的奖品是43（原鞋码）的运动鞋，则这双运动鞋的新鞋码是（）A.270B.255C.260D.265**7.（2008年全国数学竞赛山东预赛）已知函数，点P（x，y）在该函数的图象上.那么，点P（x，y）应在直角坐标平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限第9页二.填空题8.（2008年广州）函数y＝自变量x的取值范围是__________.9.（2008年江苏苏州）函数y＝中，自变量x的取值范围是__________.10.（2007年浙江金华）自由下落的物体的高度h（米）与下落的时间t（秒）的关系为h＝4.9t2.现在有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部做自由下落运动，到达地面需要的时间是__________秒.11.一个梯形的上底长为5，下底长为x，高为6，则梯形的面积y与下底长x之间的函数关系式是__________，当下底x＝7时，梯形面积y＝__________.12.函数y＝ax2＋3x的图像经过点（－1，1），则a＝__________.**13.（2008年四川成都）某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是__________.三.解答题14.一根弹簧原来长12cm，每挂1千克的物体就伸长0.5cm，已知弹簧所挂物体的质量不能超过20千克，求弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（千克）之间的函数关系式.*15.如图所示，正方形ABCD的边长为5，P为BC上一动点，若CP＝x，△ABP的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.第10页16.画出下列函数的图像.（1）y＝2x（2）17.某工人要完成24个零件的生产任务；（1）写出该工人完成任务的时间t（小时）与每小时定额a（件）之间函数关系式；（2）求出这个函数的自变量的取值范围；（3）画出这个函数的图像.四.探究题**18.一棵树苗的高度h（厘米）与测量的年份n满足如下关系：年份n高度h（厘米）第1年100第2年100＋5第3年100＋10第4年100＋15（1）求第n年时，树苗的高度h；（2）求第几年时，树苗高度为130厘米.【试题答案】一.选择题1.B2.D3.B4.C5.D6.D7.B第11页二.填空题8.x≠19.x≥110.211.y＝3x＋15，3612.413.4（提示：从第2天后，甲、乙一起播种，到第3天的一天时间里共播种350－200＝150（亩），第3天到最后播种了800－350＝450（亩），450÷150＝3（天），所以乙一共播种了4天.三.解答题14.y＝12＋0.5x（0≤x≤20）15.y＝×5×（5－x）＝－x＋（0≤x≤5）16.略17.（1）t＝（2）a＞0（3）略18.（1）h＝100＋5（n－1）＝5n＋95（2）当h＝130时，130＝5n＋95解得n＝7答：第7年时，树苗高度为130厘米.