第十章(非线性规划

第十章非线性规划§10—1问题提出----公交公司的营运策略一个大型的公交公司：（1）年预算2亿元；（2）营业额与全部营运车辆的总里程M成正比，总里程M与车辆数B、员工总人数W、燃油总量F的关系（统计分析而得的经验公式）是56.032.006.07.15FWBM，（其中，M单位千公里；F单位立方米）；（3）初始：B=700，W=2200；（4）各项费用：购新车21万元每辆，卖车得7.5万元每辆，维护费0.8万元每辆，雇佣新员工0.8万元每个，解雇旧员工0.6万元每个，年薪3万元每个员工，油价0.3万元每立方米；（5）每辆车：至少配备3个员工，至多燃50立方米油。请提供营运策略，使营业额最大。§10—2问题分析与模型建立这是优化问题，优化问题的三个要素是决策变量、约束条件和目标函数。决策变量：购买车数1x；出售车数2x；新雇员工数3x；解雇员工数4x；每车年燃油量5x。约束条件：年预算约束；车数与员工数；每车的最大燃油量；非负性。目标函数：总里程M的最大化。根据题给数据，建立如下优化模型：.50),5,4,3,2,1(0,10033,12840)(3.02104.28.33.88.21..,))700(()2200()700(7.15max543215215432156.052132.04306.021xixxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxxMi（注意到，在目标函数、约束条件的表达式中，决策变量不是以线性形式出现的）§10—3数学知识：非线性规划1．无约束优化问题)(minxfnRx，其中向量x的n个分量ix都是决策变量，称)(xf目标函数。用Matlab求解：先建立函数文件mbhs.m，内容是)(xf的表达式；再回到Matlab命令区，输入决策变量初值数据x0，执行命令[x,fmin]=fminunc(@mbhs,x0)如：)32(min22212xxRx的最优解是.)0,0(Tx用Matlab计算，函数文件为functionf=mbhs(x)f=2*x(1)^2+3*x(2)^2;再输入初值x0=[1;1];并执行上述命令，结果输出为x=1.0e-008*0.12530.3817fmin=4.6849e-0172．约束优化问题.),,...,2,1(,0)(),,...,2,1(,0)(..)(minUxLmixhpixgtsxfiiRxn其中：向量x的n个分量ix都是决策变量，称)(xf目标函数、)(xgi等式约束函数、)(xhi不等式约束函数、L下界、U上界。用Matlab求解：先把模型写成适用于Matlab的标准形式.,0)(,0)(,,..)(minUxLxhxgbeqxAeqbAxtsxfnRx约束条件中：把线性的式子提炼出来得前两个式子；后三个式子都是列向量。（如：)()()([],[],,,11262xgxgxgbeqAeqbAp）再建立两个函数文件：目标函数mbhs.m；约束函数yshs.m再回到Matlab命令区，输入各项数据及决策变量初值数据x0，执行命令[x,fmin]=fmincon(@mbhs,x0,A,b,Aeq,beq,L,U,@yshs)例：单位球1222zyx内，曲面xyyxz1.05.022的上方，平面008.0zyx之中（不是上面），满足上述三个条件的区域记为D，求函数)1cos()sin(2zezyxexyxyz在D上的最大值、最大值点。解：（1）目标函数mbhs.mfunctionf=mbhs(x)f=-exp(x(1)*x(2)*x(3))*sin(x(1)+x(2)-x(3))-exp(-x(1)*x(2))*cos(x(3)^2-1);（2）约束函数yshs.mfunction[g,h]=yshs(x)g=[x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-1;x(1)^2+x(2)^2-0.5-0.1*x(1)*x(2)-x(3)];h=[];（3）数据准备x0=[0.0;0.02;0.02];A=[];b=[];Aeq=[1,1,1];beq=0.08;L=[-1;-1;-1];U=[1;1;1];（4）执行命令[x,fmin]=fmincon(@mbhs,x0,A,b,Aeq,beq,L,U,@yshs)（5）结果x=0.23670.2368-0.3935fmin=-1.3732答：最大值点(0.2367,0.2368,-0.3935)，最大值1.3732§10—4模型求解.50),5,4,3,2,1(0,10033,12840)(3.02104.28.33.88.21..,))700(()2200()700(7.15max543215215432156.052132.04306.021xixxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxxMi（1）目标函数mbhs.mfunctionf=mbhs(x)f=-15.7*(700+x(1)-x(2))^0.06*(2200+x(3)-x(4))^0.32*((700+x(1)-x(2))*x(5))^0.56;（2）约束函数yshs.mfunction[g,h]=yshs(x)g=21.8*x(1)-8.3*x(2)+3.8*x(3)-2.4*x(4)+210*x(5)+0.3*(x(1)-x(2))*x(5)-12840;h=[];（3）数据准备x0=[0;0;0;0;25];A=[3,-3,-1,1,0];b=100;Aeq=[];beq=[];L=[0;0;0;0;0];U=[Inf;Inf;Inf;Inf;50];（4）执行命令[x,fmin]=fmincon(@mbhs,x0,A,b,Aeq,beq,L,U,@yshs)（5）结果x=0-0.0000615.7895050.0000fmin=-1.0355e+005生产与销售计划问题某公司用两种原油(A和B)混合加工成两种汽油(甲和乙)。甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A.原油A的市场价为：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的部分单价为8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分单价为6000元/吨。该公司应怎样安排原油的采购和加工？问题分析安排原油采购、加工的目的是：利润最大题中给出的是：甲乙两种汽油的售价，原油A的进价.利润==“销售汽油的收入”—“购进原油A的支出”难点：原油A的采购价与购买量的关系复杂，是分段函数关系。能否用、如何用线性规划、整数规划模型加以处理？模型建立以下约定：货币单位是“千元”；价格单位是“千元/吨”。设原油A的购买量为x，采购支出记为)(xc，则有如下的分段线性函数：.15001000,1000500,5000,63000,81000,10)(xxxxxxxc设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为21,xx，原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为43,xx，则总的销售收入为)(6.5)(8.44231xxxx，优化目标函数（利润）为)()(6.5)(8.4max4231xcxxxxz.约束条件：原油A的数量xxx50021；原油B的数量100043xx；原油A的采购量1500x；原油A在汽油甲中的比例%50311xxx；原油A在汽油乙中的比例%60422xxx；非负性0,,,,4321xxxxx.模型求解1．目标函数中，分段函数)(xc必须处理掉：记765xxxx，其中765,,xxx分别是以价格10、8、6购进的原油A的量，则模型中的目标函数变成线性函数)6810()(6.5)(8.4max7654231xxxxxxxz.2．那么，765,,xxx应该满足什么样的约束条件呢？显然有500,,0765xxx；只有以价格10购买了500吨之后，才有资格以价格8购买，即只有当5005x时才有06x，该约束条件可用如下式子代表0)500(65xx；同理，只有以价格8购买了500吨之后，才有资格以价格6购买，得0)500(76xx.3．得到如下“非线性规划”模型.500,,0,0,,,0)500(0)500(03201000500..)6810()(6.5)(8.4max76543217665423143765217654231xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxxz用LINGO软件编程计算，得最优解.5000max)0,500,500,1000,0,1500,0(),,,,,,(7654321zxxxxxxx答：采购1000吨原油A，不生产汽油甲，用全部的1500吨原油A、1000吨原油B投入生产汽油乙；此时，利润达到最大值5000千元.