第十章复频域分析

电路原理（上）周守昌邱晓初西华大学电气信息学院39第十章电路的复频域分析主要内容：正确计算电容电压的原始值和电感电流的原始值；正确作出换路后的复频域电路模型；根据复频域电路模型对电路进行正确的分析计算；掌握网络函数的基本概念；根据复频域电路模型计算网络函数；根据网络函数求电路的零状态响应；绘制网络函数的极零图，根据网络函数的极点定性的分析电路的冲激响应以及网络的稳定性。§10-1基尔霍夫定律的复频域形式用相量法分析正弦稳态电路，是一种时域到频域的变换法。相量法是作出电路的相量模型，（包括将激励和响应用相量表示，把各种电路元件作出相量模型用阻抗或导纳表示）运用相量形式的基尔霍夫定律，直接列出该模型的相量代数方程。鉴于拉氏变换法与相量法具有类似的思想方法。我们也可以作出电路的复频域模型，直接列出以复频率s为变量的代数方程。解这个方程便可以得到响应的象函数解，再经反变换就可得响应的时域的解答。为此,先导出基尔霍夫定律的复频域形式。1、电流定律的复频域形式()it0进行拉氏变换()()()LitLitIs0如图有：-I3(s)+I1(s)+I2(s)=0表述为：流入一个节点的电流象函数的代数和恒为零。I2(S)I1(S)=0I3(S)=0电路原理（上）周守昌邱晓初西华大学电气信息学院402、电压定律的复频域形式()ut0;()Us0表述为：沿一个回路的任意回转方向计算各支路电压象函数的代数和，恒为零。如图中间回路，按顺时针计算电压代数和，有：U1(s)-U2(s)+U3(s)-U4(s)=0§10-2电路元件的复频域模型·复频域阻抗和复频域导纳一、电阻元件VCR:()()RutRit拉普拉斯变换，得()()RRUsRIs，或()()RRIsGUs二、电容元件VCR:()()()tcc01utitdtu0C，或()()cdutitCdt进行拉氏变换为()()()ccu01UsIssCs()()()ccIssCUsCu0两式中都反映了电容电压初值对电压电流关系的影响。三、电感元件VCR:Ldi(t)u(t)Ldt或010tci(t)u(t)dti()L进行拉氏变换为()()()LLLUssLIsLi001LLi()I(s)U(s)sLsU2(S)+++–––+–U1(S)U3(S)U4(S)+–RUR(S))I(S)+–UC(S)I(S)+–1sC()cu0s+–UL(S)IL(S)sL()LLi0+–电路原理（上）周守昌邱晓初西华大学电气信息学院41四、复频域阻抗与导纳以RLC串联电路为例，作出复频域模型,根据KVL:010cSu()U(s)(RsL)I(s)Li()sCs00001ccssu()u()U(s)Li()U(s)Li()ssI(s)Z(s)RsLsC其中:1Z(s)RsLsc,称为RLC串联电路的复频域阻抗。1Y(s)Z(s)，称为串联电路的复频域导纳。与正弦稳态中的复阻抗Z(jω)和Y(jω)相似，只需将jω换为s即可，即令：0。在零初始条件下有：US(s)=Z(s)I(s)；I(s)=Y(s)US(s)，称R,SL,1sc为R,L,C的复频域阻抗，复频域导纳则分别为G,SC,1SL。在非零初始条件下，分子除US(s)外还包括电压源Li(0-)和cu(0)s，这是电感电容的初始能量造成的，称为附加电源。§10-3复频域模型分析线性动态电路要点：1.作出换路后的复频域电路模型，特别注意激励源与附加电源；2.根据复频域电路模型对电路进行正确的分析计算；节点法用拉氏变换法分析动态电路的分析过程和与相量法分析正弦稳态的过程相似，+-us(t)i(t)RLC+++---uR(t)uL(t)uc(t)+-+-+-+-+-+-RUR(s)I(s)Us(s)UL(s)sL1/sCLiL(0-)uc(0-)/sUc(s)电路原理（上）周守昌邱晓初西华大学电气信息学院42可以分以下几个步骤：1、计算动态元件的原始值iL(0-)和uC(0-)；2、将激励源进行拉氏变换；3、画出复频域电路的模型；4、应用计算线性电阻网络的任何一种方法（串并联化简，电源变换，回路法，节点法，戴维宁定理等）计算待求响应的象函数。5、对求得的象函数进行反变换得时域解答。例1：计算图所示电路的电流i(t)和电压uc(t)，已知原始参数为:R1=9Ω,R2=1Ω,C1=1F,C2=4F,uS(t)=10ε(t)V,uC1(0-)=uC2(0-)=0解：因uC1(0-)=uC2(0-)=0,故无附加电源外施电压象函数为:s10u(s)s电路的输入复频域阻抗为12121212121122121211R()R()scscRR(CC)SRR45S10Z(S)11(RCS1)(RCS1)(9S1)(4S1)RRscsc2S2U(S)10(9S1)(4S1)36S13S1I(S)Z(S)S45S104.5SS5S1111881S(4.5S1)S9S4.51t4.51i(t)8(t)(t)e(t)921uc(t)0t+–uS(t)i(t)R1R2C2C1+–uc(t)Z(S)+–US(s)I(s)R1R21/sC21/sC1+–Uc(s)电路原理（上）周守昌邱晓初西华大学电气信息学院4322c221RSC10(9S1)(4S1)19S1u(S)I(S)1S45S104S1S(4.5S1)RSC11145SS.145t.cu(t)(t)e(t)做出uc(t)的曲线如前。当t=0＋时,uc(0＋)=2V,而uc(0-)=0,可见电容电压uc(t)在电源加上后发生了跳变，这是由于冲激电流产生的结果，如000002110824u()i(t)dt(t)dtVC例2：如图所示电路开关K已闭合很久，t=0时断开开关，求开关断开后电路中的电流i(t)，uL1(t)，uL2(t)。其中R1=2Ω,R2=3Ω,L1=0.3H,L2=0.1H解：设开关断开时为时间起点t=0s1U10i(0)5AR2，s10U(s)st＞0电路的复频域模型如中图所示。11210105L1.51.5S10ssI(s)5S(LL)50.4SS(0.4S5)21.75SS12.512.5ti(t)2(t)1.75e(t)A曲线如上右。可见，电感电流换路后发生跳变，电感电压中必有冲激函数出现。UL1(s)=SL1I(s)-L1i(0-)=0.3sI(s)-0.3×53.752i(t)/A0t5+––+US=10VR1R2L2L1+–t=0uL1uL2i(t)+–10/s–+R1sL1UL1(s)sL2+–UL2(s)I(s)R2–+L1i(0-)电路原理（上）周守昌邱晓初西华大学电气信息学院4421.750.3S()1.5ss12.56.560.375s12.512.5tL1u(t)0.375(t)6.56e(t)VL20.175s2.19U(S)0.1SI(s)0.20.375s12.5s12.512.5tL2u(t)0.375(t)2.19e(t)V12.5tL1L2u(t)u(t)8.75e(t)可见：总电感电压并无冲激电压，两者相同方向相反抵消，不会违背KVL。同时也说明换路前后两线圈总磁链数值保持不变L1i(0-)=(L1+L2)i(0＋)112Li(0)0.35i(0)3.75ALL0.10.3例题3：图示电路，已知R1=2Ω,R2=0.5Ω,L=2H,C=0.5F,r=-0.5Ω,uC(0-)=0.5V,iL(0-)=-1A，求iL(t)。解：此题是冲激作用的二阶电路,初始状态又不为零，且含有受控源，用时域解法很繁。采用复频域法可得图示的复频域电路。列回路方程如下：左回路：12220.5(22S)I(s)I(s)21SSS右回路：12L2120.51I(s)()I(s)I(s)S2SS2L1I(s)I(s)riL+–+–+–δ(t)ViL(t)R1LCuc(t)R2IL(s)2s2+–+–-0.5IL(s)+–+–-22/s0.5/s0.51I1(s)I2(s)电路原理（上）周守昌邱晓初西华大学电气信息学院45解得L29710.5S41212I(s)S5S4S1S4t4tL71i(t)eeA1212，t≥0§10-4网络函数一、网络函数的定义及分类1、定义：R(s)H(S)E(s)其中：R(s)为零状态响应的象函数，E(s)为激励电源的象函数，H(S)为导出参数，是s的函数。2、网络函数的分类例1：RC并联电路由电流源激励的电压响应。解：U(S)11H(S)Z(s)I(S)SCGY(S)例2：求电压比21U(S)H(S)U(S)解：211U(S)SCH(S)1U(S)SLSC可见，网络函数由网络结构与参数有关，而与激励源的波形无关。二、网络函数与冲激响应当已知e(t)=δ(t),零状态响应r(t)=h(t)时,有E(S)=1网络函数策动点函数策动点阻抗策动点导纳转移函数转移阻抗和转移导纳转移电压比和转移电流比I(s)+–U(s)SCG+U1(S)–sL1/sC+–U2(S)电路原理（上）周守昌邱晓初西华大学电气信息学院46则R(S)=E(S)H(S)=H(S)=L[h(t)]可见网络函数就是冲激响应的象函数。其实网络函数的定义，与时域卷积定理密切相关。已知r(t)=e(t)*h(t)∴r(t)=L-1[E(S)H(S)]其中的网络函数可以不必由h(t)变换得来，而可以直接由复频域电路模型得到。例3RLC串联电路R=450Ω,L=50H,C=1000μF，激励电压为δ(t)V，求电容电压的冲激响应h(t)解：此处的网络函数为转移电压比，根据电路串联的分压规律，电压之比等于阻抗之比。则2120202020SCH(S)11S9S20(S4)(S5)S4S5RSLSC14t5th(t)L[H(S)][20e20e](t)(过阻尼)可见:网络函数与激励源无关，可由复频域电路模型直接求出，即完全由电路的原始参数和结构决定。求得H(S)后，进行反变换就可求得冲激响应h(t)。例4仍为上例RLC串联电路，激励源由冲激改为矩形脉冲电压，求零状态响应uC(t)。解：u(t)=5ε(t)-5ε(t-2)2S2S555U(s)e(1e)SSS+-δ(t)i(t)RLC+-h(t)1/sC+-1I(s)RsL+-H(s)520u(t)t电路原理（上）周守昌邱晓初西华大学电气信息学院47Uc(s)=H(s)U(s)2S205(1e)(s4)(s5)S2S100(1e)S(s4)(s5)2S52520()(1e)SS4S5uc(t)=L-1[Uc(s)]=[5-25e-4t+20e-5t]ε(t)-[5-25e-4(t-2)+20e-5(t-2)]ε(t-2)三、网络函数的极点和零点及其与冲激响应的关系1、极零点分布图任意集中参数的线性时不变电路的网络函数均为复频率S的实系数有理函数，可表为：mm1mm110nn1nn110bSbSbsbN(S)H(S)D(S)aSaSasam12mn12nb(sz)(sz)(sz)a(ss)(ss)(ss)mii1nkk1(sz)K(ss)其中：mnbka称为比例因子，为一常数Z1,Z2,…Zm为网络函数的零点(也即使网络函数值为零的点)S1,S2,…Sn为网络函数的极点(也即使网络函数值为极值的点)网络的零点和极点可以在S平面上标出，以“。”标注零